最近は統計検定1級の教本をみながら問題を解きつつ範囲の確認をしています。
中々最初の方の内容はもう忘れてしまっていることも多く、つまずきながらの確認となっているのですが、、、。
今回は第3章の統計学的推定の練習問題をネタにしながら復習をしていこうと思います。タイトルについてのことが気になる方は下の方まで飛ばしていってください。
練習問題問3.1ですが
\( X_1, X_2, \dots, X_n \) を確率密度関数
\[ f(x;\theta) = \theta(1+x)^{-(1+\theta)}, \quad (\theta, x > 0) \]
をもつ分布に従う母集団から取られた無作為標本とする。以下の問いに答えよ。（統計検定1級対応 統計学p.85より）
というものです。
(1)からみてみます。
(1)は \( Y=\log(1+X) \) と変数変換するときの Y の確率密度関数と平均、分散を求めよというものです。
\[ 1+x=e^y, \quad x=e^y-1, \quad (y>0), \quad dx=e^y dy \]
となるので
\[ f(x;\theta) = f(e^y-1;\theta) = \theta e^{-y(1+\theta)}e^y = \theta e^{-\theta y} \]
となります。
平均は \( \theta y=t \) とかに変換すればガンマ関数になって計算できるので \( \frac{1}{\theta} \)
分散も同様にして \( \frac{2}{\theta^2} \) となります。ほぼ割愛。
で、問題は(2)なんですが
\[ T=\sum_{i=1}^{n} \log(X_i+1) \]
が \( \frac{1}{\theta} \) の一致推定量であることを示す問題です。
本書の解答をみると、、、(2)省略、と。
いやなんか書いてよ。
と思うわけですが、この T という統計量はみてみると Y の標本平均 ということになりそうです。
一致推定量というのは「\( n\to\infty \) としたときに推定量 \( \hat{\theta} \to \theta \) となる場合に、\( \hat{\theta} \) は \( \theta \) の一致推定量となる。」というものでした。
今回の場合これは、標本平均が（１）で求めた平均に一致するということなので、大数の弱法則が示せればいいと思われます。
①マルコフの不等式
非負となる確率変数Ｘと任意の定数 c に対して
\[ P(X\geq c) \leq \frac{E[X]}{c} \]
②チェビシェフの不等式
任意の実数 \( k>0 \) に対して
\[ P(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
③大数の弱法則
標本平均が母平均に収束することを示します。
\[ P(|\overline{X}-\mu|\geq\epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2} \]
n→∞ のとき右辺が0になるため標本平均は母平均 \( \mu \) に一致する。
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