『現代数理統計学の基礎』解説2022.07.21

現代数理統計学の基礎　6章　問13-3

引き続いて(3)ですが。

$\frac{n\hat\theta}{\theta}$ がどのような分布に

従うかという問題。

順番に考えます。

まず問題の条件から

$\hat\theta=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}$ だったので

$\frac{n\hat\theta}{\theta}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{\theta}\\=\frac{x_1^2}{\theta}+\frac{x_2^2}{\theta}+...+\frac{x_n^2}{\theta}$

となります。

ここで $\frac{x_1^2}{\theta}$ について考えると

$\frac{x_1^2}{\theta}=(\frac{x_1}{\sqrt\theta})^2$ ですが

確率変数XはN(0,θ)に従う正規分布であることから

$\frac{x_1}{\sqrt\theta}\sim N(0,1)$ なので

その二乗である値は

$(\frac{x_1}{\sqrt\theta})^2\sim\chi_1^2$

とχ2乗分布に従います。

χ2乗分布の和はその分自由度が増えるので

$\frac{n\hat\theta}{\theta}\sim\chi_n^2$

となります。

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現代数理統計学の基礎　6章　問13-2