現代数理統計学の基礎　6章　問13-3

引き続いて(3)ですが。

\[
\frac{n\hat{\theta}}{\theta}
\] がどのような分布に従うかという問題。

順番に考えます。

まず問題の条件から

\[
\hat{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}
\]

だったので

\[
\frac{n\hat{\theta}}{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{\theta}
\] \[
= \frac{x_1^2}{\theta} + \frac{x_2^2}{\theta} + \dots + \frac{x_n^2}{\theta}
\]

となります。

ここで \(\frac{x_1^2}{\theta}\) について考えると

\[
\frac{x_1^2}{\theta} = \left(\frac{x_1}{\sqrt{\theta}}\right)^2
\]

ですが、確率変数 \( X \) は \( N(0,\theta) \) に従う正規分布であることから

\[
\frac{x_1}{\sqrt{\theta}} \sim N(0,1)
\]

なので、その二乗である値は

\[
\left(\frac{x_1}{\sqrt{\theta}}\right)^2 \sim \chi_1^2
\]

と \( \chi^2 \) 分布に従います。

\( \chi^2 \) 分布の和はその分自由度が増えるので

\[
\frac{n\hat{\theta}}{\theta} \sim \chi_n^2
\]

となります。