現代数理統計学の基礎 6章 問13-3

引き続いて(3)ですが。

\frac{n\hat\theta}{\theta}がどのような分布に

従うかという問題。

順番に考えます。

まず問題の条件から

\hat\theta=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}だったので

\frac{n\hat\theta}{\theta}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{\theta}\\=\frac{x_1^2}{\theta}+\frac{x_2^2}{\theta}+...+\frac{x_n^2}{\theta}

となります。

ここで\frac{x_1^2}{\theta}について考えると

\frac{x_1^2}{\theta}=(\frac{x_1}{\sqrt\theta})^2ですが

確率変数XはN(0,θ)に従う正規分布であることから

\frac{x_1}{\sqrt\theta}\sim N(0,1)なので

その二乗である値は

(\frac{x_1}{\sqrt\theta})^2\sim\chi_1^2

とχ2乗分布に従います。

χ2乗分布の和はその分自由度が増えるので

\frac{n\hat\theta}{\theta}\sim\chi_n^2

となります。