治療前後で相関構造のあるランダム化比較試験の分散の推定量を中心にした問題です。結構数理寄りなので解きやすい方だったとは思います。
(1)
$$
\mathrm{Var}(\bar{Y}_T – \bar{Y}_C) = \mathrm{Var}(\bar{Y}_T) + \mathrm{Var}(\bar{Y}_C) + 2 \, \mathrm{Cov}(\bar{Y}_T, \bar{Y}_C)
$$
ただし、\(\bar{Y}_T\) と \(\bar{Y}_C\) は独立なので：
$$
\mathrm{Cov}(\bar{Y}_T, \bar{Y}_C) = 0
$$
したがって標本平均の分散を考えれば
$$
\mathrm{Var}(\bar{Y}_T – \bar{Y}_C) = \frac{2\sigma^2}{n}
$$
(2)
まず展開して整理します。
$$
\mathrm{Var}(\delta_c)
\\= \mathrm{Var}(\bar{Y}_T – \bar{X}_T) + \mathrm{Var}(\bar{Y}_C – \bar{X}_C) \\= \mathrm{Var}(\bar{Y}_T) + \mathrm{Var}(\bar{X}_T) – 2 \, \mathrm{Cov}(\bar{Y}_T, \bar{X}_T)\quad + \mathrm{Var}(\bar{Y}_C) + \mathrm{Var}(\bar{X}_C) – 2 \, \mathrm{Cov}(\bar{Y}_C, \bar{X}_C)
$$
各項目を代入：
$$
\mathrm{Var}(\bar{Y}_T) = \mathrm{Var}(\bar{X}_T) = \mathrm{Var}(\bar{Y}_C) = \mathrm{Var}(\bar{X}_C) = \frac{\sigma^2}{n}
$$
$$
\mathrm{Cov}(\bar{Y}_T, \bar{X}_T) = \mathrm{Cov}(\bar{Y}_C, \bar{X}_C) = \frac{\rho \sigma^2}{n}
$$
共分散の計算はこちらのページに書いたような共分散の性質を把握していれば楽にできます。
よって
$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}(\delta_c)
&= 4 \cdot \frac{\sigma^2}{n} – 4 \cdot \frac{\rho \sigma^2}{n} = \frac{4\sigma^2}{n}(1 – \rho)
\end{aligned}
$$
(3-1)
回帰モデルは以下の通りで、いわゆるANCOVAです。
$$
Y_i = \alpha + \delta_a z_i + \rho X_i + \varepsilon_i
$$
以下の残差平方和の最小化を目指します
$$
\sum_{i=1}^{2n} (Y_i – \alpha – \delta_a z_i – \rho X_i)^2
$$
パラメータで偏微分して最小化条件を立てます。
まずαで偏微分すると
$$
2n\alpha = \sum Y_i – \delta_a \sum z_i – \rho \sum X_i
$$
群構造より \(\sum_{i=n+1} z_i = 0\) なので：
$$
\alpha = \frac{\bar{Y}_T + \bar{Y}_C}{2} – \rho \cdot \frac{\bar{X}_T + \bar{X}_C}{2}-\frac{\delta_a}{2}
$$
次に、δで偏微分して
$$
\sum z_i (Y_i – \alpha – \delta_a z_i – \rho X_i) = 0
$$
先ほどのαを代入して整理すると：
$$
\hat{\delta}_a = \bar{Y}_T – \bar{Y}_C – \rho (\bar{X}_T – \bar{X}_C)
$$
(3-2)
先ほどの
$$
\hat{\delta}_a = (\bar{Y}_T – \rho \bar{X}_T) – (\bar{Y}_C – \rho \bar{X}_C)
$$
から分散を求めます。
$$
\mathrm{Var}(\hat{\delta}_a)\\= \mathrm{Var}(\bar{Y}_T – \rho \bar{X}_T) + \mathrm{Var}(\bar{Y}_C – \rho \bar{X}_C) \\= \left( \frac{\sigma^2}{n} + \rho^2 \frac{\sigma^2}{n} – 2\rho \cdot \frac{\rho \sigma^2}{n} \right) \times 2 \\= \frac{2 \sigma^2}{n} (1 – \rho^2)
$$
(4)
これまでの結果をまとめると
$$\mathbb{E}[\hat{\delta}_d] = \mu_T^Y – \mu_C^Y$$
$$\mathbb{E}[\hat{\delta}_c] = \mu_T^Y – \mu_C^Y – \mu_T^X + \mu_C^X$$
$$\mathbb{E}[\hat{\delta}_a] = \mu_T^Y – \mu_C^Y – \rho \mu_T^X + \rho \mu_C^X$$
なので全てが合致するためには
$$\mu_T^X = \mu_C^X \text{ のとき満たす}$$
(5)
$$\mathrm{Var}[\hat{\delta}_d] = \frac{2\sigma^2}{n} \quad \text{なので}$$
$$\frac{\mathrm{Var}[\hat{\delta}_c]}{\mathrm{Var}[\hat{\delta}_d]} = 2(1 – \rho)$$
$$\frac{\mathrm{Var}[\hat{\delta}_a]}{\mathrm{Var}[\hat{\delta}_d]} = 1 – \rho^2$$
あとはこれをグラフにすればOKです。
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