頑張ってLatex使って書いてみよう、という気持ちで問10。
指数分布の問題。
まず(1)、μとσの2つの母数に関しての十分統計量の問題。
定義関数を用いつつ、同時確率密度関数を出します。
あとからU=X(1)をくくりだすために一旦式の中に作り出します。
\[
\prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma) \\
= \frac{1}{\sigma^n} \exp\left\{-\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n (x_i – \mu) \right\} I(x_1 > \mu, x_2 > \mu, …, x_n > \mu) \\
= \frac{1}{\sigma^n} \exp\left\{-\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n (x_i – x_{(1)} + x_{(1)} – \mu) \right\} I(x_1 > \mu, x_2 > \mu, …, x_n > \mu)
\]
これを変形して、\( i=1 \) の部分を和からはじき出します。
\[
\frac{1}{\sigma^n} \exp\left\{-\frac{n}{\sigma} (x_{(1)} – \mu) – \frac{1}{\sigma} \sum_{i=2}^n (x_{(i)} + x_{(1)}) \right\} I(x_{(1)} > \mu)
\]
\( T \) は結局 \( i=2 \) のときから考えればよいので（\( i=1 \) のときは \( X(i)-X(1) \) で0になる）
\[
\frac{1}{\sigma^n} \exp\left\{-\frac{n}{\sigma} (U – \mu) – \frac{1}{\sigma} T \right\} I(U > \mu)
\]
となります。
これで \( U, T \) が \( (\mu, \sigma) \) の十分統計量であることが示されました。
Latexのエラーが出すぎて心折れてきたので（たったこれだけの記事で1時間かかった・・・）ここで終了します。
溜まったエラーたちをどこかの記事でまとめて放出します。
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