現代数理統計学の基礎 6章 問13-1

平均0, 分散θの正規分布についての問題。

まず(1)は分散のフィッシャー情報量を求める問題ですね。

問12で書いたように対数尤度関数の二回微分を求めていけばよいので

まず対数尤度関数が

logf(x|\theta)=log\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}e^{-\frac{x^2}{2\theta}}\\=-\frac{x^2}{2\theta}-\frac{1}{2}log\theta-\frac{1}{2}log2\pi

θで2回微分すると

-\frac{x^2}{\theta^3}+\frac{1}{2\theta^2}

よってフィッシャー情報量を求めていくと

I_1(\theta)=E[-(-\frac{x^2}{\theta^3}+\frac{1}{2\theta^2})]=\frac{E[x_1^2]}{\theta^3}-\frac{1}{2\theta^2}=\frac{1}{2\theta^2}

となります。

ちなみに最後の方の式では、E[x]=0なので

E[x_1^2]=Var(x_1)=\theta

を利用しています。

よってn倍すればn個のデータの

フィッシャー情報量になるので

I_n(\theta)=\frac{n}{2\theta^2}

逆数がクラメール・ラオの下限になるので

クラメール・ラオの不等式は

\(Var(\hat\theta)\geq\frac{n}{2\theta^2}\)

となります。

2件のコメント

大阪で整形外科の医師をしているものです.tosuke先生の解説は大変に分かりやすく.大変助けられています.
Q6-13 (1) 単なる誤植であることは十分承知していますが,一応修正が必要かと思いましてコメントさせていただきます.In(θ)のところはn/(2θ^2)かと思います.ですので,逆数にしてクラメール・ラオの下限は2θ^2/nになるかと思います.

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