現代数理統計学の基礎　6章　問10-3

引き続き問10から(3)

σとμの不偏推定量を求める問題。

不偏推定量とは

\[
E[\hat{\theta} (X)] = \theta
\]

を満たす推定量のことでした。

(2)より \( \frac{2T}{\sigma}\) が \( \chi^2 \) 分布に従うことがわかったので

\[
E\left[\frac{2T}{\sigma}\right] = 2(n-1) \
E\left[\frac{T}{n-1}\right] = \sigma \
\hat{\sigma} = \frac{T}{n-1}
\]

となります。 \( T \) の部分を代入して解とします。

\(\mu\) については同様に(2)の結果を用いて

\[
E\left[\frac{n(U-\mu)}{\sigma}\right] = 1 \
E[U] = \frac{\sigma}{n} + \mu \
\hat{\mu} = U – \frac{\hat{\sigma}}{n}
\]

でした。 \( U \) の部分に代入して解とします。