現代数理統計学の基礎 7章 問8(2)

問8の(2)をやります。最尤推定量の問題です。

まず、αの最尤推定量\hat\alphaは尤度関数と条件から決まります。

(1)で見たように、条件からαはX>αでないといけないので

X_{(1)}\gt\alpha

となります。

同時確率密度関数は

\beta^n\alpha^{n\beta}\frac{1}{\Pi x^{\beta+1}}\Pi I_{(x_i\gt\alpha)}

ですので、αができるだけ大きければ尤度も大きくなることがわかります。よって

\hat\alpha=X_{(1)}となります。

2017年の統計検定1級問2(1)と似たような問題ですね。検定の問題でも気になっていたのですが、不等号が等号を含んでないのに、解答がイコールで繋いだもので良いのかがずっと気になってます。なぜこれが許されるのか誰かわかったら教えてください・・・。

続いてβの最尤推定量です。

これは対数尤度関数を微分して、\hat\alphaをαに代入します。

\frac{\partial}{\partial\beta}logL=\frac{n}{\beta}+nlog\alpha-\sum logx_i=0とすると

\hat\beta(nlog\alpha-\sum logx_i)=-n\\\hat\beta=\frac{n}{\sum logx_i-nlog\alpha}\\=\frac{n}{\sum log\frac{x_i}{x_{(1)}}}

となります。

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