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『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.28

現代数理統計学の基礎　7章　問8（2）

問8の（2）をやります。最尤推定量の問題です。

まず、αの最尤推定量 $\hat\alpha$ は尤度関数と条件から決まります。

（1）で見たように、条件からαはX＞αでないといけないので

$X_{(1)}\gt\alpha$

となります。

同時確率密度関数は

$\beta^n\alpha^{n\beta}\frac{1}{\Pi x^{\beta+1}}\Pi I_{(x_i\gt\alpha)}$

ですので、αができるだけ大きければ尤度も大きくなることがわかります。よって

$\hat\alpha=X_{(1)}$ となります。

2017年の統計検定1級問2（1）と似たような問題ですね。検定の問題でも気になっていたのですが、不等号が等号を含んでないのに、解答がイコールで繋いだもので良いのかがずっと気になってます。なぜこれが許されるのか誰かわかったら教えてください・・・。

続いてβの最尤推定量です。

これは対数尤度関数を微分して、 $\hat\alpha$ をαに代入します。

$\frac{\partial}{\partial\beta}logL=\frac{n}{\beta}+nlog\alpha-\sum logx_i=0$ とすると

$\hat\beta(nlog\alpha-\sum logx_i)=-n\\\hat\beta=\frac{n}{\sum logx_i-nlog\alpha}\\=\frac{n}{\sum log\frac{x_i}{x_{(1)}}}$

となります。

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