現代数理統計学の基礎　6章　問12(1)

さて、数理統計学の勉強ですが

問題を解くことはすでにこの本の8章まで

終わってまして、回帰分析の勉強をぼちぼち開始しました。

復習がてら引き続き6章の解答を。

問12はポアソン分布の最尤推定の問題です。

(1)は積率母関数でポアソン分布に従う確率変数の和を表現する問題ですね。

まずは復習がてらポアソン分布の積率母関数から

\[
E[e^{tX}] = \sum_{x=0}^{\infty} e^{tX} \cdot \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda}
\]

\[
= e^{-\lambda} \sum \frac{(\lambda e^t)^x}{x!}
\]

\[
= e^{\lambda e^t – \lambda} \sum \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} e^{-\lambda e^t}
\]

（マクローリン展開より \( \sum \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} = e^{\lambda e^t} \)）

\[
= e^{\lambda e^t – \lambda}
\]

これを用いて \( X \) の和の確率変数を求めます。

求めたい和を \( Y \) として

\[
Y = \sum_{i=1}^{n} X_i
\]

とすると

\[
M_Y(t) = E[e^{tY}] = E[e^{t(x_1 + x_2 + … + x_n)}] \]

\[
= \{E[e^{tx_1}]\}^n
\]

\[
= e^{n(\lambda e^t – \lambda)} \sim Po(n\lambda)
\]

となります。

ポアソン分布の再生性というやつですね。