現代数理統計学の基礎 2章 問15

平方変換の問題シリーズです。問14は結構簡単なので飛ばして、問15をやります。

これがちょっと厄介なんですね。

問12の記事で書いたように分布関数から考えるとY=X^2の平方変換をする場合

F_Y(y)=P(Y\leq y)\\=P(X^2\leq y)\\=P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y)

となることから、両辺を微分して

f_Y(y)=\{f_x(\sqrt y)+f_x(-\sqrt y)\}\frac{1}{2\sqrt y}dy

となることが本書内では命題となっていました。

ただし、ここで問題なのはxの範囲が非対称である場合。

上記の式における

P(X^2\leq y)\\=P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y)が成り立たなくなります。

問15では-1<x<2なので、-1<x<1の範囲では上記の式が成り立ちますが、1<x<2においてはxが-2~1の値をとれないために、上記の式が成り立ちません。

よって、場合分けをして考える必要があります。

-1<x<1(0<y<1)においては上記の式を使って

\(f_Y(y)=\{f_x(\sqrt y)+f_x(-\sqrt y)\}\frac{1}{2\sqrt y}\\=\frac{\frac{2}{9}(\sqrt y+1-\sqrt y+1)}{2\sqrt y}\\=\frac{2}{9\sqrt y}\)

続いて1<x<2(1<y<4)においては元の式に立ち戻って

\(F_Y(y)=P(Y\leq y)\\=P(X^2\leq 1)+P(1\lt X^2\lt y)\\=\int_{-1}^{1}\frac{2}{9}(x+1)dx+P(1\lt X\lt \sqrt y)\\=\frac{4}{9}+\int_{1}^{\sqrt y}\frac{2}{9}(x+1)dx\\=\frac{2}{9}(\frac{1}{2}+\sqrt y+\frac{y}{2})\)

これを微分して

f_Y(y)=\frac{1}{9}(\frac{1}{\sqrt y}+1)

となります。

応用問題解くには原義まできちんと理解することが大事ですね。

『現代数理統計学の基礎』解説ページのまとめはこちら

現代数理統計学の基礎 解答・解説まとめ – 脳内ライブラリアン

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