現代数理統計学の基礎　2章　問15

平方変換の問題シリーズです。問14は結構簡単なので飛ばして、問15をやります。

これがちょっと厄介なんですね。

問12の記事で書いたように分布関数から考えるとの平方変換をする場合

となることから、両辺を微分して

となることが本書内では命題となっていました。

ただし、ここで問題なのはxの範囲が非対称である場合。

上記の式における

が成り立たなくなります。

問15では-1<x<2なので、-1<x<1の範囲では上記の式が成り立ちますが、1<x<2においてはxが-2~1の値をとれないために、上記の式が成り立ちません。

よって、場合分けをして考える必要があります。

-1<x<1（0<y<1）においては上記の式を使って

\(f_Y(y)=\{f_x(\sqrt y)+f_x(-\sqrt y)\}\frac{1}{2\sqrt y}\\=\frac{\frac{2}{9}(\sqrt y+1-\sqrt y+1)}{2\sqrt y}\\=\frac{2}{9\sqrt y}\)

続いて1<x<2（1<y<4）においては元の式に立ち戻って

\(F_Y(y)=P(Y\leq y)\\=P(X^2\leq 1)+P(1\lt X^2\lt y)\\=\int_{-1}^{1}\frac{2}{9}(x+1)dx+P(1\lt X\lt \sqrt y)\\=\frac{4}{9}+\int_{1}^{\sqrt y}\frac{2}{9}(x+1)dx\\=\frac{2}{9}(\frac{1}{2}+\sqrt y+\frac{y}{2})\)

これを微分して

となります。

応用問題解くには原義まできちんと理解することが大事ですね。

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現代数理統計学の基礎 解答・解説まとめ – 脳内ライブラリアン