ガンマ関数とベータ関数の関係性を整理【統計検定1級対策】

通勤時間で色々本は読むのですが、いかんせんブログを書く時間が作れません。

今日はとりあえずさっとできそうなことで、引き続き統計の勉強内容を書きます。

ガンマ関数とベータ関数は統計のみならず、必要となってくる内容らしいですが、統計学ではガンマ分布、ベータ分布とそれぞれの関数を使った確率分布があるので、同じく必要です。

二つの関数の関連について式を書いて整理してみます。

ガンマ関数とベータ関数の関係式

定義の確認ですがガンマ関数は

$\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx$

でした。

階乗の一般化と呼ばれ、aが自然数のとき $\Gamma(a)=(a-1)!$ が成り立ちます。

ベータ関数は

$B(a,b)=\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

でした。

二つの関数の関係式は以下です。

$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$

今回はこの証明をやろうと思います。

ガンマ関数とベータ関数の関係式の証明

証明でポイントとなるのは極座標変換と平方変換です。まず、関係式の右辺の分子であるガンマ関数の積を平方変換します。

$\Gamma(a)\Gamma(b)=\int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx\int_{0}^{\infty}y^{b-1}e^{-y}du$

これを $x=t^2,y=u^2$ とおくと

$dx=2tdt,dy=2udu$ であり、積分区間は変わらないので

$\Gamma(a)\Gamma(b)=\int_{0}^{\infty}t^{2a-2}e^{-t^2}2tdt\int_{0}^{\infty}u^{2b-2}e^{-u^2}2udu\\=4\int_{0}^{\infty}t^{2a-1}e^{-t^2}dt\int_{0}^{\infty}u^{2b-1}e^{-u^2}du$

ここで $t=rcos\theta,u=rsin\theta$ の極座標変換をします。

ヤコビアンはrとなることから

$dtdu=rdrd\theta$ なので

$4\int_{0}^{\infty}t^{2a-1}e^{-t^2}dt\int_{0}^{\infty}u^{2b-1}e^{-u^2}du\\=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}t^{2a-1}u^{2b-1}e^{-t^2-u^2}dtdu\\=4\int_{0}^{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}cos\theta^{2a-1}sin\theta^{2b-1}r^{2(a+b)-1}e^{-r^2}drd\theta\\=4\int_{0}^{\infty}r^{2(a+b)-2}e^{-r^2}dr\int_{0}^{\frac{2}{\pi}}cos\theta^{2a-1}sin\theta^{2b-1}d\theta\\=2\Gamma(a+b)\int_{0}^{\frac{2}{\pi}}cos\theta^{2a-1}sin\theta^{2b-1}d\theta$