このところ淡々と問題をやり続けてます。次は問10。
今回は正規分布を使った複合仮説の仮設検定ですね。
まず今までの7章の問題と同様に帰無仮説を\(\mu=0\)として尤度比検定（＝最強力検定）を求めます。
まず正規分布における尤度関数は
\(L(\mu)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp{-\frac{1}{2}\sum(x_i-\mu)^2}\)
そして対数尤度関数は
\(logL=-\frac{n}{2}log2\pi-\frac{1}{2}\sum(x_i-\mu)^2\)
正規分布の最尤推定量はあまりにも良く出ますが、対数尤度関数をμで微分すれば
\(\mu_{MLE}=\frac{1}{n}\sum x_i=\bar X\)
と求まります。
\(\mu_{MLE}\gt0\)
尤度比検定は
\(\frac{(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}\sum x_i^2\}}{(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}\sum(x_i-\bar X)^2\}}\\=exp\{-\frac{1}{2}\sum(-2\bar Xx_i)-\frac{1}{2}\sum\bar X^2\}\\=exp(\frac{n}{2}\bar X^2)\gt C\)
となります。
途中の変形がわからない場合はこちらの記事も参照下さい。
\(\mu_{MLE}\gt0\)ですので最後の式は結局
\(\bar X\gt C\)
と簡単な形に変形できます。
ここで中心極限定理より
\(\sqrt n(\bar X-\mu)\sim N(0,1)\)
なので、帰無仮説の条件を踏まえると棄却域は上側α％分位点を\(z_\alpha\)とすると
\(\sqrt n\bar X\gt z_\alpha\)
となります。
最後に棄却域を拡大します。これは問9（2）などと同じです。
\(sup_{\mu\geq0}P(\sqrt n\bar X\gt z_\alpha)\\=sup_{\mu\geq0}P(\sqrt n(\bar X-\mu)\gt z_\alpha-\sqrt n\mu)\leq\alpha\)
となるので、有意水準αの検定であることが示せました。
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