このところ淡々と問題をやり続けてます。次は問10。
今回は正規分布を使った複合仮説の仮設検定ですね。
まず今までの7章の問題と同様に帰無仮説をとして尤度比検定(=最強力検定)を求めます。
まず正規分布における尤度関数は
そして対数尤度関数は
正規分布の最尤推定量はあまりにも良く出ますが、対数尤度関数をμで微分すれば
と求まります。
さて、ここでのとき
尤度比検定は
\(\frac{(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}\sum x_i^2\}}{(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}\sum(x_i-\bar X)^2\}}\\=exp\{-\frac{1}{2}\sum(-2\bar Xx_i)-\frac{1}{2}\sum\bar X^2\}\\=exp(\frac{n}{2}\bar X^2)\gt C\)
となります。
途中の変形がわからない場合はこちらの記事も参照下さい。
ですので最後の式は結局
と簡単な形に変形できます。
ここで中心極限定理より
なので、帰無仮説の条件を踏まえると棄却域は上側α%分位点をとすると
となります。
最後に棄却域を拡大します。これは問9(2)などと同じです。
となるので、有意水準αの検定であることが示せました。
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