今日は指数分布と100α%分位点の問題を解きたかったので、追加問題を解きました。1級の統計応用のことを考えると、次は7章の解きなおしでもしようかなと思ってます。
(1)は指数分布のモーメント母関数の問題ですね。
まず指数分布は
\[
E_x(\lambda) = \lambda e^{\lambda x}
\]
なので
\[
M_x(t) = \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \lambda e^{\lambda x}
\]
\[
= \sum (\lambda – t) e^{-(\lambda – t)x} \cdot \frac{\lambda}{\lambda – t}
\]
\[
= \frac{\lambda}{\lambda – t} \quad (t < \lambda)
\]
最後の変形は
\[
\sum (\lambda – t) e^{-(\lambda – t)x}
\]
が指数分布
\[
E_x(\lambda – t)
\]
の総和が1であることを用いました。またモーメント母関数における \( t \) は極小であるので \( t < \lambda \) が成り立ちます。
(2) はモーメント母関数を使うだけの問題ですね。
(1) で求めた結果を使えば、微分して 0 を代入することで
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda}
\]
分散は2回微分して 0 を代入したものから期待値の2乗を引けばよいので
\[
V(X) = \frac{2}{\lambda^2} – \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
\]
となります。
(3) は 100\( \alpha \)% 分位点を求める問題です。まず分布関数 \( F(x) \) は確率密度関数を積分すればよいので
\[
\int_0^x \lambda e^{-\lambda x}dx = 1 – e^{-\lambda x}
\]
となります。ここで \( x \) が \( x_\alpha \) をとるとき、その確率が \( 1 – \alpha \) となるわけなので
\[
1 – e^{-\lambda x_\alpha} = 1 – \alpha
\]
\[
x_\alpha = -\frac{1}{\lambda} \log \alpha
\]
となります。
最後の(4)は条件付きの期待値の問題です。
\[
E[X | X > t]
\]
なので、条件となる確率を分母にもってこれば良く、その確率は
\[
P(X > t) \\
= 1 – (1 – e^{-\lambda t}) \\
= e^{-\lambda t}
\]
となります。
よって答えは
\[
\frac{\int_t^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx}{e^{-\lambda t}}
\]
\[
= e^{\lambda t} \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_t^\infty + e^{\lambda t} \int e^{-\lambda x}dx
\]
\[
= t + \frac{1}{\lambda}
\]
です。最後の変形は部分積分を用いました。
条件付き期待値についてこちらのページが参考になります。
条件付き期待値，分散の意味と有名公式 | 高校数学の美しい物語
次は7章を解いていこうかなと思ってます。
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