現代数理統計学の基礎　7章　問10（2）

7章問10は一様最強力検定が存在しないことを示す問題です。

複合仮説でも片側検定であれば、成り立ち得ますが、両側検定だと成り立たないことは本書中でも、棄却域を示す式が異なることで説明されていました。同様の方法で示します。

まず、対立仮説は\(\mu > 0\)のときと\(\mu < 0\)のときに場合分けできます。

\(\mu > 0\)のとき

一様最強力検定は（1）の棄却域拡大前と同様なので

\(\sqrt{n}\bar{X} > Z_{\alpha}\)

となります。

次に\(\mu < 0\)のとき

途中までは（1）と一緒なのですが、最後の変形の部分で異なってきます。

\(\exp\left(\frac{n}{2}\bar{X}^2\right) > C\)

ですが、今回は対立仮説が\(\mu < 0\)であることから

\(\bar{X} < C\) となります。ある値 \(C\) より小さいということは正規分布において左端（値が小さい方）の 1-α％分位点に当たるので一様最強力検定は\(\sqrt{n}\bar{X} < Z_{1-\alpha}\)

となります。

以上から場合によって一様最強力検定が異なるため存在しないことが示せました。