現代数理統計学の基礎 4章 問23

今回は多項分布の問題を解きます。

まずは(1)から。

k番目の値が定まった時の条件付き確率関数を求める問題です。

f_{x_k}(x_k)=\frac{n!}{x_k!(n-x_k)!}{p_k}^{x_k}(1-p_k)^{n-x_k}

なので

\(f_{x_1,…x_k}(x_1,…,x_{k-1}|x_k)=\frac{\frac{n!}{x_1!…x_k!}p_1^{x_1}…p_k^{x_k}}{\frac{n!}{x_k!(n-x_k)!}{p_k}^{x_k}(1-p_k)^{n-x_k}}\\=\frac{(n-x_k)!}{x_1!…x_{k-1}!}(\frac{p_1}{1-p_k})^{x_1}…(\frac{p_{k-1}}{1-p_k})^{x_k-1}\)

となります。

続いて(2)。共分散を求める問題ですね。

i<jとして

Cov(X_i, X_j)\\=E[X_iX_j]-E[X_i]E[X_j]

となります。

ここで

E[X_i]=np_i

で、jについても同様であることから

Cov(X_i, X_j)\\=E[X_iX_j]-n^2p_ip_j

となることがわかります。

あとはE[X_iX_j]を求めます。

\(E[X_iX_j]=\sum_{(x_1,…,x_k\in\chi)}x_ix_j\frac{n!}{x_1!…x_k!}p_1^{x_1}…p_k^{x_k}\\=n(n-1)p_ip_j\sum\frac{(n-2)!}{x_1!…(x_i-1)!…(x_j-1)!…x_k!}p_1^{x_1}..p_i^{x_i-1}…p_j^{x_j-1}…p_k^{x_k}\)

ここで\sum以降の項は試行回数をn-2までとした多項分布の総和と同じであることが分かります。よってこれが1となるので

E[X_iX_j]=n(n-1)p_ip_j

となります。

あとはこれを代入すれば

Cov(X_i, X_j)\\=E[X_iX_j]-n^2p_ip_j\\=-np_ip_j

と証明できます。

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