現代数理統計学の基礎　2章　問12

今回は一様分布と平方変換についての問題です。

(1)はまず一様分布のモーメント母関数を求めます。これは式通りやるだけです。

平均と分散ですが、モーメント母関数から求めようとすると結構やりにくいので、解答という意味で行けば単純に定義から求めた方が楽にできます。

\(E[X]=\int_{0}^{1}xf(x)dx\\=[\frac{x}{2}]_0^1\\=\frac{1}{2}\)

分散はX2乗の期待値をまず求めて

\(E[X^2]=\int_{0}^{1}x^2f(x)dx\\=[\frac{x^3}{3}]_0^1\\=\frac{1}{3}\)

あとは計算します

\(V(X)=E[X^2]-\{E[X]\}^2=\frac{1}{12}\)

公式の解答ではテーラー展開を用いて行っています。本の第1章ではロピタルの定理を用いてM’x(0)を求めています。このようにモーメント母関数を使う場合はどちらかを使わないと求められないので注意が必要です。

続いて(2)。平方変換の問題です。

平方変換の際の確率密度変数はどうなるか。本書内の命題の通りに計算すればできます。

命題の内容について簡単に復習すると、まず

\(Y=X^2\)より\(\sqrt{Y}=X\)です。

よって

\(dx=\frac{1}{2\sqrt{y}}dy\)となります。

ここで、分布関数\(F_Y(y)\)と考えると

\(F_Y(y)=P(Y\leq y)\\=P(X^2\leq y)\\=P(-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y})\)

となります。

この際注意が必要なのが、xの値域によってはこの変形ができない場合があることです。続いての3章問13がこの例にあてはまりますので、また次回あたりで確認します。

\(F_Y(y)=P(-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y})=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f_x(x)dx\)

両辺を微分して

\(f_Y(y)=\{f_x(\sqrt{y})+f_x(-\sqrt{y})\}\frac{1}{2\sqrt{y}}\)

となります。

これを用いて

\(f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\)

あとは平均と分散をそのまま計算していくだけです。

(3)はlogへの変換。

\(y=-\log{x}, \quad e^{-y}=x, \quad \frac{dx}{dy}=-e^{-y}\)となります。

これは本書内の変数変換の命題を用いて

\(f_Y(y)=f_X(e^{-y})|-e^{-y}|\\=e^{-y}(0

となります。

よって

\(E[Y]=\int_0^\infty ye^{-y}dy\\=\Gamma(2)\\=1\)

期待値は実はガンマ関数になることが分かると簡単に答えが出ます。

同様にして

\(E[Y^2]=\int_0^\infty y^2e^{-y}dy\\=\Gamma(3)\\=2\)

よって

\(V(Y)=2-1=1\)

となります。

(4)は尺度変換です。

\(X=\frac{y}{\sigma}-\frac{\mu}{\sigma}, \quad \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sigma}\)

ですね。

よって先ほどと同様に

\(f_Y(y)=f_X(\frac{y}{\sigma}-\frac{\mu}{\sigma})・\frac{1}{\sigma}\\=\frac{1}{\sigma}(\mu\lt y\lt\sigma+\mu)\)

となります。

これもあとは普通に期待値と分散の定義に沿って計算するだけです。

単変数変換の良い練習になる問題ですね。