現代数理統計学の基礎　6章　問13-4

(4) は \( n \to \infty \) のときの漸近分布を求める問題。

これも解答に誤植があるのかなという気がしますが。

(3) で使ったように

\[
\frac{x_i^2}{\theta} \sim \chi_1^2(1,2)
\]

でした。

よって定数 \( \theta \) を掛けると

\[
x_i^2 \sim \chi_1^2(\theta, 2\theta^2)
\]

となります。

(解答はここで分散が \( 2\theta \) になっていますが、最終的な解をみても \( 2\theta^2 \) な気がします)

そうすると求めたい \( \theta \) の最尤推定量は

\[
\frac{x_i^2}{n}
\]

なので 2 乗の標本平均であり、中心極限定理を使えば 2 乗の平均と分散を用いて表すことができます。

よって

答えは

\[
N(0, 2\theta^2)
\]