現代数理統計学の基礎 2章 問9

変数変換した場合の上側100%分位点がどうなるかという問題です。

結論から書きますと

確率変数Xの上側100%分位点を\(x_\alpha\)とし、確率変数Yを\(Y=\sigma X+\mu\)と定義した場合、確率変数Yの上側100%分位点\(y_\alpha=\sigma X_\alpha+\mu\)となる。

というものです。では証明を見ていきます。この手の問題は確率Pを表現していくと簡単に変形できることが多いです。

\(P(X\leq x_\alpha)=1-\alpha\\=P(Y\leq y_\alpha)\\=P(\sigma X+\mu\leq y_\alpha)\\=P(X\leq \frac{y_\alpha-\mu}{\sigma})\)

となります。最初の式と比較しますと

\(x_\alpha=\frac{y_\alpha-\mu}{\sigma}\)

となり、変形すると

\(y_\alpha=\sigma x_\alpha+\mu\)

となります。

簡便にサンプルサイズを計算するLehr’s formulaで役立つのでまたそちらの記事は後日書く予定です。