現代数理統計学の基礎　6章　問13-2

(2)の問題。

(1)で求めたθの最尤推定量を求めて

平均と分散を求めていく問題。

最尤推定量はさほど難しくはなくて

対数尤度関数＝０をおいて導出します。

まず同時確率密度関数から。

\(f_n(x|\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}e^{-\frac{x_1^2}{2\theta}}・\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}e^{-\frac{x_2^2}{2\theta}}…\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}e^{-\frac{x_n^2}{2\theta}}\)

対数尤度関数にすると

θで微分して=0とすると

よって

最尤推定量は無事求まったので

ここから平均と分散を求めていきます。

平均は

\(E[\hat\theta^{ML}]=E[\sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{n}]\\=\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n{x_i^2}]\\=\frac{1}{n}・nE[x_1^2]\\=\theta\)

大変なのは分散です。

とここまではいいんですが

を求めないといけません。

を利用して求めます。

4次モーメントなので

モーメント母関数でごり押しで出します笑

復習がてら正規分布の場合の

モーメント母関数から出していきます。

今回はN(0, θ)の正規分布なので

\(M(t)=E[e^{tx}]\\=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}exp(-\frac{x^2}{2\theta})exp(tx)dx\\=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}exp{-\frac{1}{2\theta}(x-\theta t)^2)}exp(\frac{\theta t^2}{2})dx\\=exp(\frac{\theta}{2}t^2)\)

4次のモーメントを求めるので

4回微分して0を代入すれば

が出てきます

あとの微分は気合ですが、実際やろうとしたときも

計算ミスしました。地味に面倒です。

(以下3回微分)

よって求めたい分散は

となります。