2022年統計数理の解答例 問1【統計検定1級対策】

さて、今年の統計検定についても、いかに自分ができなかったかを見直ししつつ、解答例を作ってみようと思います。

2021年の過去問は公式ページにありましたが、今のところ2022年の問題は貼ってなさそうですね。いずれリンクが貼られるのでしょうか。

統計数理の1問目は確率測度の基本的な性質を確認するような問題でした。意外と1級の過去問ではこういった問題はなく、2級では時々出ていたようですね。見直してみると結構計算量も少なく解けるので本番なぜ解けなかったのかが誠に悔やまれます、、、けど実力なんでしょうがないですね笑

では(1)から順番に見ていきます。調べながら解いてはいますが、毎度のことながら間違いがありましたら申し訳ありませんがご指摘いただけると助かります。

目次

(1)

まずは事象が独立な場合の確率。これはごく単純で
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
となりますので
\((\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}\)
が答えとなります。

同様にして
\(P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)\)
なのでもう一つの答えは
\(\frac{27}{64}\)
となります。

(2)

さて本番では続いての問題で既にミスってしまいました。。。それぞれが独立とは限らない場合の範囲を考える問題です。

まず
\(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\)
となります。

ここで、P(A),P(B)は定数ですので
\(P(A\cup B)\)が最大の時\(P(A\cap B)\)が最小
\(P(A\cup B)\)が最小の時\(P(A\cap B)\)が最大
となることがわかります。

確率の定義から\(P(A\cup B)\)の最大値は1となり、P(A)=P(B)となるとき最小値3/4となるので

答えは
\(\frac{1}{2}\leq P(A\cap B)\leq\frac{3}{4}\)
となります。

(3)

(2)と同様に解けます。

まず、
\(P(A\cap B\cap C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cup B)-P(B\cup C)-P(A\cup C)+P(A\cup B\cup C)\)
が成り立ちます。

ここで定数以外の項を見ますと常に
\(P(A\cup B)+P(B\cup C)+P(A\cup C)\geq P(A\cup B\cup C)\)
という関係が成り立っていますので、負の項の範囲に着目すれば良いことがわかります。

ここで、P(A)=P(B)=P(C)のとき、負の項が最も小さくなるので、最大値3/4を取ります。

また\(P(A\cup B)=P(B\cup C)=P(A\cup C)= P(A\cup B\cup C) =1\)のとき、負の項が最も大きくなるので、最小値1/4を取ります。

(4)

条件より
\(P(A\cup B)=P(A) P(B)-P(A)P(B)\\=\frac{15}{16}\)

同様にして\(P(B\cup C)=P(A\cup C)=\frac{15}{16}\)
となります。

よって
\(P(A\cap B\cap C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cup B)-P(B\cup C)-P(A\cup C)+P(A\cup B\cup C)\\=\frac{9}{4}-\frac{45}{16}+P(A\cup B\cup C)\)
となります。

ここで、\(P(A\cup B\cup C)\)は確率の定義から最大で1、\(P(A\cup B)=P(B\cup C)=P(A\cup C)\)のとき、最小で15/16となりますので、答えは

\(\frac{3}{8}\leq P(A\cap B\cap C)\leq\frac{7}{16}\)

となります。

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