現代数理統計学の基礎 2章 問13

前日の問12とほぼ似通った問題ですが、絶対値を使った点がやや難しいのが問13です。こちらも参考にしながらどうぞ。

現代数理統計学の基礎 3章 問12

まず(1)。

これは問12とほぼ同様のやり方でできます。

M_X(t)=\int_{-1}^1\frac{e^tx}{2}dx\\=\frac{e^t-e^{-t}}{2t}

あとは期待値、分散は問12と同様にモーメント母関数を使いつつ工夫してやるか、普通に定義を当てはめてやればでます。普通に当てはめるほうが簡単です。

(2)は平方変換です。今回はxの値が-1~1ということで、対称性があります。

よって全てのyにおいて、f_X(y)=f_X(-y)が成り立つことを活用します。

f_Y(y)=\{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)\}\frac{1}{2\sqrt y}\\=\frac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}\\=\frac{1}{2\sqrt y}

となります。

なので、問12の(2)と全く同じ答えです。

厄介なのは(3)。

対数変換ですが絶対値がついていますので、場合分けをする必要が出てきます。

まず、e^{-y}=|x|, |\frac{dx}{dy}|=e^{-y}です。

変数変換の際にかける\frac{dx}{dy}は本書内での説明でもある通り、絶対値付きなので、xの符号によらずこれは変わりません。

ここで、-1<x<0のとき、x=-e^{-y}(0\lt y\lt\infty)

また0<x<1のとき、x=e^{-y}(0\lt y\lt\infty)

となります。

ここで定義関数I(0<y<∞)を使って表すと(定義関数は値の条件を満たさなければ0になり、条件を満たせば1になる関数)

\(f_Y(y)=f_X(-e^{-y})e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)+f_X(e^{-y})e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)\\=2f_X(e^{-y})e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)(対称性のため)\\=e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)\)

となります。

よって実は問12の(3)と全く変わりませんので期待値と分散も1となります。

(4)もほぼ解き方が変わりませんので省略します。

結構色々やると慣れてきますね。平方変換シリーズのなかでもう一つ癖がある問15を次はやります。

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