現代数理統計学の基礎　7章　問6

7章問6は分散の異なる二つの正規分布における尤度比検定とその棄却域の問題です。

1問目は分散の比をλとして、単純仮説の尤度比検定を求めていきます。

まず帰無仮説下において、

\[
\sigma^2_Y = \lambda \sigma^2_X
\]

となります。

ここでの最尤推定量を求めていくと、対数尤度関数を微分して

\[
\frac{\partial}{\partial\sigma^2_X} \log L = -\frac{m+n}{2\sigma^2_X} + \frac{\sum x_i^2}{2\sigma^4_X} + \frac{\sum y_i^2}{2\lambda_0\sigma^4_Y}
\]

となります。

\(=0\) として変形すると、最尤推定量 \(\hat\sigma^2\) は

\[
\hat\sigma^2 = \frac{1}{m+n} \left(\sum x_i^2 + \frac{\sum y_i^2}{\lambda_0}\right)
\]

で求まります。

続いて、対立仮説における最尤推定量は

\[
\hat\sigma_X^2 = \frac{\sum x_i^2}{n}, \quad \hat\sigma_Y^2 = \frac{\sum y_i^2}{m}
\]

となります。(公式の回答は \(m\) と \(n\) が逆になってます。多分誤植。)

今回検定にかかる統計量は \(\lambda\) なので、

\[
\hat\lambda \hat\sigma_X^2 = \hat\sigma_Y^2
\]

とおいておきます。

すると尤度比を計算していくと（詳細は省略しますが）、

\[
\left(\frac{n+m\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}}{n+m}\right)^{-\frac{n+m}{2}}
\left(\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}\right)^{\frac{m}{2}}
\]

になります。

\(\exp\) の中身は計算すると綺麗に \(0\) になるため、このようなスッキリした形に落ち着きます。

\(-2\log\) をつければカイ二乗分布に従うようになるので

\[
(m+n) \log \frac{n+m\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}}{n+m} – m \log \frac{\hat\lambda}{\lambda_0} \sim \chi^2_{1,\alpha}
\]

が答えとなります。

続いて（2）ですが、\(\hat\lambda\) が F 統計量に従うことを利用します。\(\lambda_0\) は定数であるため、

\[
\frac{\hat\lambda}{\lambda_0} \sim F_{n,m}
\]

となります。

尤度比検定の結果から定数 \(c_1, c_2\) を用いて、棄却域は

\[
\frac{F}{\lambda_0} < c_1, \quad \frac{F}{\lambda_0} > c_2
\]

と言えるので、先程の F 統計量を用いれば

\[
\frac{\hat\lambda}{\lambda_0} < F_{n,m,1-\frac{\alpha}{2}}, \quad \frac{\hat\lambda}{\lambda_0} > F_{n,m,\frac{\alpha}{2}}
\]

となります。