現代数理統計学の基礎 7章 問6

7章問6は分散の異なる二つの正規分布における尤度比検定とその棄却域の問題です。

1問目は分散の比をλとして、単純仮説の尤度比検定を求めていきます。

まず帰無仮説下において、\sigma^2_Y=\lambda\sigma^2_Xとなります。

ここでの最尤推定量を求めていくと、対数尤度関数を微分して

\frac{\partial}{\partial\sigma^2_X}logL=-\frac{m+n}{2\sigma^2_X}+\frac{\sum x_i^2}{2\sigma^4_X}+\frac{\sum y_i^2}{2\lambda_0\sigma^4_Y}

となります。

=0として、変形すると最尤推定量\hat\sigma^2

\hat\sigma^2=\frac{1}{m+n}(\sum x_i^2+\frac{\sum y_i^2}{\lambda_0})

で求まります。

続いて対立仮説における最尤推定量は

\hat\sigma_X^2=\frac{\sum x_i^2}{n}, \hat\sigma_Y^2=\frac{\sum y_i^2}{m}

となります。(公式の回答はmとnが逆になってます。多分誤植。)

今回検定にかかる統計量はλなので、\hat\lambda\hat\sigma_X^2=\hat\sigma_Y^2とおいておきます。

すると尤度比を計算していくと(結構書くのが面倒なので端折りますが)

(\frac{n+m\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}}{n+m})^{-\frac{n+m}{2}}(\frac{\hat\lambda}{\lambda_0})^{\frac{m}{2}}

になります。

expの中身は計算すると綺麗に0になるのが分かりますので、このようなスッキリした形に落ち着きます。

−2logをつければカイ二乗分布に従うようになるので

(m+n)log\frac{n+m\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}}{n+m}-mlog\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}\sim\chi^2_{1,\alpha}

が答えとなります。

続いて(2)ですが、\hat\lambdaがF統計量に従うことを利用します。\lambda_0は定数であるため、\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}\sim F_{n,m}となります。

尤度比検定の結果から定数c1、c2を用いて、棄却域は

\(\frac{F}{\lambda_0}\lt c_1, \frac{F}{\lambda_0}\gt c_2\)と言えるので

先程のF統計量を用いれば

\(\frac{\hat\lambda}{\lambda_0}\lt F_{n,m,1-\frac{\alpha}{2}}, \frac{\hat\lambda}{\lambda_0}\gt F_{n,m,\frac{\alpha}{2}}\)

となります。

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