現代数理統計学の基礎 7章 問8(1)

最近論文やら発表やらが溜まり気味であんまり更新する余裕がありません、、。そして、今年は人事異動で仕事も増える+神経内科専門医試験もあるので、統計検定1級に受かる自信がじわじわ削がれるわけですが。

ひとまず、あんまり細かく考えずに書ける記事を書いていきます(汗

7章問8はパレート分布における十分統計量、最尤推定量と尤度比検定の問題です。

(1)から。

パラメータの十分統計量を求める問題です。

今まで十分統計量ってなんとなく問題は解けるけど概念がよくわからなかったのですが、こちらのページの資料を見て理解がちょっと進みました。

最尤法と十分統計量について

どなたが書かれたのかと思ったら京都大学の医療統計の先生だったようです。

土居正明のホームページ

十分統計量とは要するにざっくり言えば「データXの関数のうち、対数尤度関数にしてパラメータで微分した時に消えないような部分のこと」のようです。

そうした視点で(1)を見てみます。

まず同時確率密度関数は

\beta^n\alpha^{n\beta}\frac{1}{\Pi x^{\beta+1}}\Pi I_{(x_i\gt\alpha)}

となります。最後のやつは条件を満たす場合を1とする定義関数です。

定義関数の十分統計量については、本書中のp119の例(ページ上方です)に書いてあるように、十分統計量はどのデータXを通してαと関連するかによって決まりますので、今回は順序統計量を用いると最も小さいデータXを通してαが決まってきます。

よって、X_{(1)}がαに対する十分統計量です。

続いてβについては対数尤度関数を見てみると

L(\beta)=nlog\beta+n\beta log\alpha-\beta\sum logx_i-\sum logx_i+\sum logI_{(x_i\gt\alpha)}

となります。

これをβで微分したものの中で、残るもののうち、xが入っているものが十分統計量となるわけなので、答えは\beta\sum logx_iとなります。

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