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『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.27

現代数理統計学の基礎　5章　問7

あっさりした問題なので解答記事すら不要な気もしますが、復習がてらで書いてみます。

$P(|X|\geq t)\leq \frac{E[g(X)]}{g(t)}$

を示す問題ですね。

まずg(x)>0なのでマルコフの不等式から

$P(g(X)\geq g(t))\leq\frac{E[g(X)]}{g(t)}$

あとはg(x)=g(-x)の対称性とg(x)が増加関数であることを利用して左辺を変形すると

$P(g(X)\geq g(t))=P(X\geq t, X\gt 0)+P(X\geq t, X\lt 0)\\=P(|X|\geq t)$

となります。

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