現代数理統計学の基礎 5章 問7

あっさりした問題なので解答記事すら不要な気もしますが、復習がてらで書いてみます。

P(|X|\geq t)\leq \frac{E[g(X)]}{g(t)}

を示す問題ですね。

まずg(x)>0なのでマルコフの不等式から

P(g(X)\geq g(t))\leq\frac{E[g(X)]}{g(t)}

あとはg(x)=g(-x)の対称性とg(x)が増加関数であることを利用して左辺を変形すると

P(g(X)\geq g(t))=P(X\geq t, X\gt 0)+P(X\geq t, X\lt 0)\\=P(|X|\geq t)

となります。