現代数理統計学の基礎　5章　問7

あっさりした問題なので解答記事すら不要な気もしますが、復習がてらで書いてみます。

\(P(|X|\geq t)\leq \frac{E[g(X)]}{g(t)}\)

を示す問題ですね。

まず\(g(x)>0\)なのでマルコフの不等式から

\(P(g(X)\geq g(t))\leq\frac{E[g(X)]}{g(t)}\)

あとは\(g(x)=g(-x)\)の対称性と\(g(x)\)が増加関数であることを利用して左辺を変形すると

\(P(g(X)\geq g(t))=P(X\geq t, X>0)+P(X\geq t, X<0)\\=P(|X|\geq t)\)

となります。