現代数理統計学の基礎　7章　問8（2）

問8の（2）をやります。最尤推定量の問題です。

まず、 $\alpha$ の最尤推定量 $\hat{\alpha}$ は尤度関数と条件から決まります。

（1）で見たように、条件から $\alpha$ は $X > \alpha$ でないといけないので

$X_{(1)} \gt \alpha$

となります。

同時確率密度関数は

$\beta^n \alpha^{n\beta} \frac{1}{\prod x^{\beta+1}} \prod I_{(x_i \gt \alpha)}$

ですので、 $\alpha$ ができるだけ大きければ尤度も大きくなることがわかります。よって

$\hat{\alpha} = X_{(1)}$ となります。

2017年の統計検定1級問2（1）と似たような問題ですね。検定の問題でも気になっていたのですが、不等号が等号を含んでないのに、解答がイコールで繋いだもので良いのかがずっと気になってます。なぜこれが許されるのか誰かわかったら教えてください・・・。

続いて $\beta$ の最尤推定量です。

これは対数尤度関数を微分して、 $\hat{\alpha}$ を $\alpha$ に代入します。

$\frac{\partial}{\partial \beta} \log L = \frac{n}{\beta} + n \log \alpha – \sum \log x_i = 0$ とすると

$\hat{\beta} (n \log \alpha – \sum \log x_i) = -n \\ \hat{\beta} = \frac{n}{\sum \log x_i – n \log \alpha} \\ = \frac{n}{\sum \log \frac{x_i}{x_{(1)}}}$

となります。