現代数理統計学の基礎 7章 問8(3)

(3)は尤度比検定を求める問題ですね。

まず尤度比を求めます。公式の解答は一発の式変形で何が何やらわかりませんが、もう少し詳しく見てみます。

\frac{L(\hat\alpha, \beta_0)}{L(\hat\alpha, \hat\beta)}=\frac{\hat\alpha^n\frac{1}{\Pi x_i^2}}{(\hat\beta\hat\alpha^{\hat\beta})^n\frac{1}{\Pi x_i^{\hat\beta+1}}}

ここで、(2)の結果より

\hat\beta=\frac{n}{\sum log\frac{x_i}{X_{(1)}}}=\frac{n}{T}

となりますので、これと\hat\alpha=X_{(1)}を代入して

\(\frac{\hat\alpha^n\frac{1}{\Pi x_i^2}}{(\hat\beta\hat\alpha^{\hat\beta})^n\frac{1}{\Pi x_i^{\hat\beta+1}}}\\=X_{(1)}^{n(1-\frac{n}{T})}\Pi x_i^{-(1-\frac{n}{T})}\frac{T^n}{n^n}\\=(expT)^{-(1-\frac{n}{T})}\frac{T^n}{n^n}\\=e^{-T+n}\frac{T^n}{n^n}\)

よって、ここに−2logをつければ

-2nlogT+2nlogn-T+n\gt\chi^2_{1,\alpha}

となり、尤度比検定が求まりました。

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