(3)は尤度比検定を求める問題ですね。
まず尤度比を求めます。公式の解答は一発の式変形で何が何やらわかりませんが、もう少し詳しく見てみます。
\( \frac{L(\hat{\alpha}, \beta_0)}{L(\hat{\alpha}, \hat{\beta})} = \frac{\hat{\alpha}^n \frac{1}{\prod x_i^2}}{(\hat{\beta} \hat{\alpha}^{\hat{\beta}})^n \frac{1}{\prod x_i^{\hat{\beta} + 1}}} \)
ここで、(2)の結果より
\( \hat{\beta} = \frac{n}{\sum \log \frac{x_i}{X_{(1)}}} = \frac{n}{T} \)
となりますので、これと \( \hat{\alpha} = X_{(1)} \) を代入して
\( \frac{\hat{\alpha}^n \frac{1}{\prod x_i^2}}{(\hat{\beta} \hat{\alpha}^{\hat{\beta}})^n \frac{1}{\prod x_i^{\hat{\beta} + 1}}} \\ = X_{(1)}^{n(1 – \frac{n}{T})} \prod x_i^{-(1 – \frac{n}{T})} \frac{T^n}{n^n} \\ = (e^{T})^{-(1 – \frac{n}{T})} \frac{T^n}{n^n} \\ = e^{-T + n} \frac{T^n}{n^n} \)
よって、ここに −2log をつければ
\( -2n \log T + 2n \log n – T + n \gt \chi^2_{1, \alpha} \)
となり、尤度比検定が求まりました。
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