現代数理統計学の基礎　7章　問8（3）

（3）は尤度比検定を求める問題ですね。

まず尤度比を求めます。公式の解答は一発の式変形で何が何やらわかりませんが、もう少し詳しく見てみます。

ここで、（2）の結果より

となりますので、これとを代入して

\(\frac{\hat\alpha^n\frac{1}{\Pi x_i^2}}{(\hat\beta\hat\alpha^{\hat\beta})^n\frac{1}{\Pi x_i^{\hat\beta+1}}}\\=X_{(1)}^{n(1-\frac{n}{T})}\Pi x_i^{-(1-\frac{n}{T})}\frac{T^n}{n^n}\\=(expT)^{-(1-\frac{n}{T})}\frac{T^n}{n^n}\\=e^{-T+n}\frac{T^n}{n^n}\)

よって、ここに−2logをつければ

となり、尤度比検定が求まりました。