現代数理統計学の基礎 7章 問9(1)

現代数理統計学の基礎、7章の問9です。

指数分布において、最強力検定=尤度比検定を求める問題ですね。「指数分布=ガンマ分布の特殊形」であることが問題を解くのに役立ちます。

まず尤度関数は

L(\lambda)=\lambda^n\Pi exp(-\lambda\sum x_i)

今回は帰無仮説も対立仮説もλ=定数と決まってますので、尤度比検定

\frac{L(\lambda_0)}{L(\lambda_1)}=\frac{\lambda_0^n\Pi exp(-\lambda_0\sum x_i)}{\lambda_1^n\Pi exp(-\lambda_1\sum x_i)}\\=(\frac{\lambda_0}{\lambda_1})^nexp(-\lambda_0+\lambda_1)\sum x_i\lt C

となります。

−2logつけてカイ二乗分布を使って、終わりでもいいんじゃないかと思ったりするわけですが、解答としては可能な限り単純な形にしたいようです。

そこでまずは式の形に着目すると

(\frac{\lambda_0}{\lambda_1})^nは正の定数

(-\lambda_0+\lambda_1)も正の定数(条件より\lambda_1\gt\lambda_0なので)

ということから、尤度比検定の式は結局

\sum x_i\lt C'

に集約されることがわかります。

さて、ここで指数分布の和の再生性を利用すると

\sum x_i\sim Ga(n, \lambda)

となります。

*2個目がλとなっているのは解答とは分布の書き方が違うだけです。こちら参照。

代表的な確率分布を覚えやすいようにまとめてみる②-連続型・標本分布-【統計検定1級対策】 – 脳内ライブラリアン

さらに変数変換を利用すると、帰無仮説が成り立つとき

2\lambda_0\sum x_i\sim Ga(n, \frac{1}{2})=\chi^2_{2n}

となります。

求める尤度比検定は

2\lambda_0\sum x_i\lt C''

です。

ここで最初自分がわからなかったのは、なぜ2λをかけたらカイ二乗分布になるのか、ということでしたが、実は問7の(3)でもしれっとなんの説明もなく、同じ変形が使われています。しかし、よくよく考えてみたらただの変数変換でした。頭の良い人には省略されるぐらい当然の変形なんすかね、、、。丁寧に式を追ってみます。

\sum x_i=Yとして2\lambda_0をかけて変数変換をしてみます。すると

2\lambda_0Y=Z\\Y=\frac{Z}{2\lambda_0}\\dy=\frac{1}{2\lambda_0}dz

となります。

これをガンマ分布の式に入れて変数変換してみると

f(z)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}(\frac{z}{2\lambda_0})^{n-1}exp\{-\lambda\frac{z}{2\lambda_0}\}・\frac{1}{2\lambda_0}\\=\frac{(\frac{1}{2})^n}{\Gamma(n)}z^{n-1}exp\{-\frac{1}{2}z\}

となるので、自由度2nのカイ二乗分布に一致します。

本題に戻りまして、以上のことから解答は

2\lambda_0\sum x_i\lt\chi^2_{2n, 1-\alpha}

となります。

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