問9(2)ですが、問4と同じような感じで棄却域を広げていきます。
まずは帰無仮説を \lambda = \lambda_0 と固定します。
次に場合わけ。
① \lambda_{MLE} \lt \lambda_0 のとき
尤度比は1となってしまうので成立せず。
② \lambda_{MLE} \geq \lambda_0 のとき
(1)の式と同様にして \lambda_1 に \lambda_{MLE} を入れると尤度比検定の式は前問と同様に変形できます。
\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_{MLE}}\right)^n \exp(-\lambda_{MLE} + \lambda_0) \sum x_i \lt C \\ 2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}
これが一様最強力検定となるので、あとは棄却域を広げて
\sup P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha})
が \alpha となることを示します。
P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) \\ = P_{\lambda \leq \lambda_0}\left(2\lambda \sum x_i \lt \frac{\lambda}{\lambda_0} \chi^2_{2n, 1-\alpha}\right) \\ \leq P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) = \alpha (\lambda \leq \lambda_0 のため)
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