現代数理統計学の基礎　7章　問9（2）

問9（2）ですが、問4と同じような感じで棄却域を広げていきます。

現代数理統計学の基礎 7章 問4 – 脳内ライブラリアン

まずは帰無仮説を $\lambda = \lambda_0$ と固定します。

次に場合わけ。

① $\lambda_{MLE} \lt \lambda_0$ のとき

尤度比は1となってしまうので成立せず。

② $\lambda_{MLE} \geq \lambda_0$ のとき

(1)の式と同様にして $\lambda_1$ に $\lambda_{MLE}$ を入れると尤度比検定の式は前問と同様に変形できます。

$\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_{MLE}}\right)^n \exp(-\lambda_{MLE} + \lambda_0) \sum x_i \lt C \\ 2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}$

これが一様最強力検定となるので、あとは棄却域を広げて

$\sup P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha})$

が $\alpha$ となることを示します。

$P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) \\ = P_{\lambda \leq \lambda_0}\left(2\lambda \sum x_i \lt \frac{\lambda}{\lambda_0} \chi^2_{2n, 1-\alpha}\right) \\ \leq P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) = \alpha (\lambda \leq \lambda_0 のため)$