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『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.28

現代数理統計学の基礎　7章　問9（2）

問9（2）ですが、問4と同じような感じで棄却域を広げていきます。

現代数理統計学の基礎 7章問4 – 脳内ライブラリアン

まずは帰無仮説を $\lambda=\lambda_0$ と固定します。

次に場合わけ。

① $\lambda_{MLE}\lt\lambda_0$ のとき

尤度比は1となってしまうので成立せず。

② $\lambda_{MLE}\geq\lambda_0$ のとき

(1)の式と同様にして $\lambda_1$ に $\lambda_{MLE}$ を入れると尤度比検定の式は前問と同様に変形できます。

$(\frac{\lambda_0}{\lambda_{MLE}})^nexp(-\lambda_{MLE}+\lambda_0)\sum x_i\lt C\\2\lambda_0\sum x_i\lt\chi^2_{2n,1-\alpha}$

これが一様最強力検定となるので、あとは棄却域を広げて

$supP_{\lambda\leq\lambda_0}(2\lambda_0\sum x_i\lt\chi^2_{2n,1-\alpha})$

がαとなることを示します。

\(P_{\lambda\leq\lambda_0}(2\lambda_0\sum x_i\lt \chi^2_{2n,1-\alpha})\\=P_{\lambda\leq\lambda_0}(2\lambda\sum x_i\lt\frac{\lambda}{\lambda_0}\chi^2_{2n,1-\alpha})\\\leq P_{\lambda\leq\lambda_0}(2\lambda\sum x_i\lt\chi^2_{2n,1-\alpha})=\alpha(\lambda\leq\lambda_0 のため)\)

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