さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。
統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。
問10は確率収束、分布収束の問題です。
まずは（1）から。
（1）はn→∞のとき、不偏分散が母分散に確率収束することを示す問題です。
不偏分散、標本分散ともに一致推定量と呼ばれており、n→∞のときに母分散に一致することが知られています。それを証明する問題ということですね。
さて、まず式を変形していくわけですが、目標として分散の式に近い形態の
\frac{1}{n} \sum (x_i – \mu)^2
＊ \bar{X}_n と毎回書くのが面倒なので \bar{X} とします。
なので、不偏分散を以下のように変形していきます。
\frac{1}{n-1} \sum (x_i – \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 – n\mu^2 + 2n\mu\bar{X} – n\bar{X}^2 \right\}
= \frac{1}{n-1} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 – n (\bar{X} – \mu)^2 \right\}
前半の項と後半の項を分けてみていきます。
① 前半の項
前半の項は極めて分散を意味する式に近いことが分かります。そこで、少し変形して
\frac{1}{n-1} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\} = \frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\}
とすると、前半の \frac{n}{n-1} は n \to \infty の極限で 1 になることが分かりますから、後半部分のみに着目します。
\frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\}
これは期待値が \sigma^2 になり、分散は
E\left[\frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^4 \right\}\right] – \sigma^2 = \mu_4 – \sigma^2
となります。
よって大数の法則から
\frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\} \to \sigma^2
となります。
② 後半の項について
後半の項について見てみると
\frac{n}{n-1} \left\{ (\bar{X} – \mu)^2 \right\}
ですので、n \to \infty の極限を考えると、大数の法則により \bar{X} は母平均 \mu に一致していくので
\frac{n}{n-1} \left\{ (\bar{X} – \mu)^2 \right\} \to 0
以上から、不偏分散は n \to \infty のとき母分散に一致することが分かりました。
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