現代数理統計学の基礎 5章 問10(1)

さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。

統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。

問10は確率収束、分布収束の問題です。

まずは(1)から。

(1)はn→∞のとき、不偏分散が母分散に確率収束することを示す問題です。

不偏分散、標本分散ともに一致推定量と呼ばれており、n→∞のときに母分散に一致することが知られています。それを証明する問題ということですね。

さて、まず式を変形していくわけですが、目標として分散の式に近い形態の

\frac{1}{n}\sum(x_i-\mu)^2を目指しつつ変形します。

\bar X_nと毎回書くのが面倒なので\bar Xとします

なので不偏分散を以下のように変形していきます。

\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar X)^2=\frac{1}{n-1}\{\sum(x_i-\mu)^2-n\mu^2+2n\mu\bar X-n\bar X^2\}\\=\frac{1}{n-1}\{\sum(x_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2\}

前半の項と後半の項を分けてみていきます。 

前半の項は極めて分散を意味する式に近いことが分かります。そこで、少し変形して

\frac{1}{n-1}\{\sum(x_i-\mu)^2\}\\=\frac{n}{n-1}\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^2\}

とすると前半の\frac{n}{n-1}は無限にした時に1になることが分かりますから、後半部分のみに着目します。

\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^2\}は期待値が\sigma^2になり、分散は

E[\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^4\}]-\sigma^2=\mu_4-\sigma^2

となります。

よって大数の法則から

\frac{n}{n-1}\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^2\}\to\sigma^2

となります。

後半の項についてみてみると

\frac{n}{n-1}\{(\bar X-\mu)^2\}

ですので、nを無限にすると\bar Xはやはり大数の法則により母平均に一致していくので

\frac{n}{n-1}\{(\bar X-\mu)^2\}\to 0

以上から不偏分散はn→∞のとき母分散に一致することが分かりました。

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