※ブログ記事の商品・サービスリンクにはアフィリエイトリンクが含まれます。

『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.28

現代数理統計学の基礎　5章　問10（1）

さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。

統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。

問10は確率収束、分布収束の問題です。

まずは（1）から。

（1）はn→∞のとき、不偏分散が母分散に確率収束することを示す問題です。

不偏分散、標本分散ともに一致推定量と呼ばれており、n→∞のときに母分散に一致することが知られています。それを証明する問題ということですね。

さて、まず式を変形していくわけですが、目標として分散の式に近い形態の

$\frac{1}{n}\sum(x_i-\mu)^2$ を目指しつつ変形します。

＊ $\bar X_n$ と毎回書くのが面倒なので $\bar X$ とします

なので不偏分散を以下のように変形していきます。

$\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar X)^2=\frac{1}{n-1}\{\sum(x_i-\mu)^2-n\mu^2+2n\mu\bar X-n\bar X^2\}\\=\frac{1}{n-1}\{\sum(x_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2\}$

前半の項と後半の項を分けてみていきます。

①

前半の項は極めて分散を意味する式に近いことが分かります。そこで、少し変形して

$\frac{1}{n-1}\{\sum(x_i-\mu)^2\}\\=\frac{n}{n-1}\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^2\}$

とすると前半の $\frac{n}{n-1}$ は無限にした時に1になることが分かりますから、後半部分のみに着目します。

$\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^2\}$ は期待値が $\sigma^2$ になり、分散は

$E[\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^4\}]-\sigma^2=\mu_4-\sigma^2$

となります。

よって大数の法則から

$\frac{n}{n-1}\frac{1}{n}\{\sum(x_i-\mu)^2\}\to\sigma^2$

となります。

②

後半の項についてみてみると

$\frac{n}{n-1}\{(\bar X-\mu)^2\}$

ですので、nを無限にすると $\bar X$ はやはり大数の法則により母平均に一致していくので

$\frac{n}{n-1}\{(\bar X-\mu)^2\}\to 0$

以上から不偏分散はn→∞のとき母分散に一致することが分かりました。

FOLLOW

コメントを残すコメントをキャンセル

現代数理統計学の基礎　5章　問10（2）

現代数理統計学の基礎　7章　問10（3）