現代数理統計学の基礎 4章 問16

久しぶりに問題解きましたので記事追加します。

条件付き期待値・分散の問題を解きたかったのでやってみました。

(1)から。全分散の公式の共分散バージョンといった感じですね。

Cov(X,Y)=E[Cov(X,Y|Z)]+Cov(E[X|Z],E[Y|Z])

を示す問題です。

条件付き期待値の変形を多用するので馴染みがなければこちらを参照ください。

medibook.hatenablog.com

右辺の第1項は

E[Cov(X,Y|Z)]=E[E[XY|Z]-E[X|Z]E[Y|Z]\\=E[XY]-E[E[X|Z]E[Y|Z]]

右辺の第2項は

Cov(E[X|Z],E[Y|Z])=E[E[X|Z]E[Y|Z]]-E[E[X|Z]]E[E[Y|Z]]\\=E[E[X|Z]E[Y|Z]]-E[X]E[Y]

となります。

よって第1項と第2項を足し合わせると

E[XY]-E[X]E[Y]

となるので左辺と一致します。

続いて(2)。(1)の式を用いれば簡単にできます。

Cov(X,Y)=E[Cov(X,Y|Z)]+Cov(E[X|Z],E[Y|Z])

のうち、まずZが与えられたときXとYが独立に分布するため

E[Cov(X,Y|Z)]=0

次に

Cov(E[X|Z],E[Y|Z])=Cov(Z,Z)\\=V(Z)\\=1

となります。

よって

Cov(X,Y)=0+1=1

です。

2件のコメント

初めまして、関東で勤務医をしておりますrinadaと申します。突然コメント申し訳ありません。私も基礎研究に携わるにあたり統計の知識を学ぼうと現代数理統計学の基礎を使用しておりますが、いつも先生の解説をとても参考にさせていただいており大変助かっております。ありがとうございます。
私は今5章を現在取り掛かっておりますが、まだ自分では解けず回答を丸写しする日々です、、今後ともぜひ参考にさせていただきます。よろしくお願いいたします。

>rinadaさん
過分なお言葉をいただきましてありがとうございます。
数理統計の部分に踏み込むとラフな解説がどうしても少ないので、お役立て頂ければ幸いです。また見直していると数式のミスが所々ありますので、何かおかしく感じる点があればまたご指摘ください。
統計検定まではしばらく更新頻度が落ちていますが、終わり次第統計関連の記事もまたあげていく予定ですので、どうぞよろしくお願いします。

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