現代数理統計学の基礎 7章 問2 (2)

ちょっと解答が納得しにくい問2の(2)をやっていきます。(1)と逆で、平均\muが既知で分散\sigma^2が未知の場合の検定ですね。

まず尤度関数は

L(\mu, \sigma^2)=(2\pi\sigma^2)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum(x_i-\mu)^2\}

となります。

また(1)と同様に対立仮説下での最尤推定量を\hat\sigma_0^2とすると

\hat\sigma_0^2=min(\sigma_0^2, \hat\sigma^2)となります。

場合分けしてみていくと

\sigma_0^2\geq\hat\sigma^2のとき

尤度比の式は分母分子ともに同じになるので1となります

\sigma_0^2\leq\hat\sigma^2のとき

7章の問1の尤度比検定の問題と同じ方法(現代数理統計学の基礎 7章 問1 (2) – 脳内ライブラリアン)で計算できますので、最終的に-2logをとると

n(log\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-1)

となります。

ここで、その後も(1)と同様に以下の確率上界を求めます。

sup_{\sigma^2\leq\sigma_0^2}P\{n(log\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-1)\}

ですが、そのままやろうとするとlogが邪魔でうまく不等式を作ることができません。

そこで、解答のやり方では

n(-log\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}+\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-1)\gt C\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}によって単調増加することを利用し

n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}\gt C'と同値になることを用います。

ここがまあ納得できるようなできないような、、、というところなのですが、結局定数より大きければ良いので、単調増加関数であれば不等式の内容としてはこの式に情報は集約できているわけですね。

これを使えばあとは簡単で、有意水準αの検定は\sigma^2=\sigma_0^2のとき

n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma^2}\sim\chi_nを利用すると仮説検定の棄却域は

n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}\gt \chi_{n,\alpha}であるため

両辺に\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}をかけて

n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma^2}\gt \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\chi_{n,\alpha}

この確率をとると帰無仮説の条件\sigma^2\geq\sigma_0^2より

P\{n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma^2}\gt \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\chi_{n,\alpha}\}\\\leq P\{n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma^2}\gt\chi_{n,\alpha}\}=\alpha

となります。

(2021.11.11追記:指摘をいただいて修正しました)

7件のコメント

tosuke先生のブログ,統計の勉強にいつも参考にさせていただいてます。
後半の「n(σhat^2/σ0^2)が自由度1のカイ二乗分布に従う」の部分ですが,n(σhat^2/σ0^2)は標本から導かれる統計量で,{Σ(X-μ)^2}/σ0^2と同値と思いますので,自由度nのカイ二乗分布に従うのではないでしょうか。

>H2Hさん
コメント有難うございます。ご指摘いただいた通りと思いましたので、修正させていただきました。今見直してみたら逆になぜ自由度1だと思い込んでいたのかわからなくなってきました(汗
ありがとうございます。

脳内ライブラリアン様
(1)で質問にご回答頂き、ありがとうございます。
(2)の最後の確率上界の証明でも理解が追いつかない箇所があります。
n*σhat^2/σ^2が自由度nのカイ二乗分布に従うのは理解できました。しかし、n*σhat^2/σ0^2 > χn, αとなる理由がわかりません。帰無仮説はσ^2 n*σhat^2/σ0^2となり、右辺は必ずしもχn, αより大きくならないように思われます。
おしょQ
おしょ

脳内ライブラリアン様
すみません。先に書いた質問は文書が変なので、書き直します。
(1)で質問にご回答頂き、ありがとうございます。
(2)の最後の確率上界の証明でも理解が追いつかない箇所があります。
n*σhat^2/σ^2が自由度nのカイ二乗分布に従うのは理解できました。しかし、n*σhat^2/σ0^2 > χn, αとなる理由がわかりません。帰無仮説はσ^2 n*σhat^2/σ0^2となり、右辺は必ずしもχn, αより大きくならないように思われます。
おしょ

>おしょさん
言葉が少し不足していたかもしれないので補いましたが、仮説検定の棄却域が上記のχn,αの式になるということで、必ず常にそれを満たすというわけではありませんでした。この問題で最終的に証明することは有意水準αの検定を示すことなので、まずは棄却域の式を作り、さらにその確率上界を求めると言う手順になっているかと思います。コメントに書いていただいた「帰無仮説は〜」からの式が少しわからなかったので、何か勘違いがありましたら申し訳ありません。

tosuke様
ちゃんと書き込むことができず、申し訳ございません。
サイトのコメントをすっかり荒らしてしまいました。
お恥ずかしい限りです。
「帰無仮説は〜」以降は以下のように書いたつもりでした。

帰無仮説はσ^2 n*σhat^2/σ0^2になるように思われます。
そのため、n*σhat^2/σ^2 > χn,αであっても、必ずしもn*σhat^2/σ0^2 > χn,αが成り立たないと思われます。

脳内ライブラリアン様
すみません。先に書いた質問は文書が変なので、書き直します。
(1)で質問にご回答頂き、ありがとうございます。
(2)の最後の確率上界の証明でも理解が追いつかない箇所があります。
n*σhat^2/σ^2が自由度nのカイ二乗分布に従うのは理解できました。しかし、n*σhat^2/σ0^2 > χn, αとなる理由がわかりません。帰無仮説はσ^2 n*σhat^2/σ0^2となり、右辺は必ずしもχn, αより大きくならないように思われます。
おしょ

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