現代数理統計学の基礎 6章問10-2 - 脳内ライブラリアン

気を取り直して引き続き6章の問10(2)。

これがなかなか面倒くさい問題ですね。

まずは同時確率密度関数で式を表します。

p.104より順序統計量の同時確率密度関数は

n!×それぞれの確率密度関数の積なので

$f_{{x_{(1)}},{x_{(2)}},...,{x_{(n)}}}(x_{(1)},...,x_{(n)})\\=n!\frac{1}{\sigma^n}exp\{-\frac{n}{\sigma}(x_{(1)}-\mu)-\frac{1}{\sigma}\sum_{i=2}^n(x_{(i)}-x_{(1)})\}I(x_{(1)}\gt\mu)$

となります。

ここで問題に合わせて変数変換します。

$z_1=\frac{x_{(1)}-\mu}{\sigma},z_2=\frac{x_{(2)}-x_{(1)}}{\sigma},z_3=\frac{x_{(3)}-x_{(1)}}{\sigma},...,z_n=\frac{x_{(n)}-x_{(1)}}{\sigma}$

X=の形に書き直すと

$x_{(1)}=\sigma z_1+\mu, x_{(2)}=\sigma z_2+\sigma z_1+\mu,...,x_{(n)}=\sigma z_n+\sigma z_1+\mu$

となるのでヤコビアンを求めると

$J((z_1,z_2,...)→(x_{(1)},(x_{(2)},...)=\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial z_1}(\sigma z_1+\mu)&\frac{\partial}{\partial z_2}(\sigma z_1+\mu)&...\\\frac{\partial}{\partial z_1}(\sigma z_2+\sigma z_1+\mu)&\frac{\partial}{\partial z_2}(\sigma z_2+\sigma z_1+\mu)&0&...\\...&...&...\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\sigma&0&0&...\\\sigma&\sigma&0&...\\\sigma&0&\sigma&...\end{bmatrix}\\=\sigma^n$

この結果から変数変換をして
目的である「指数分布とχ2乗分布の積にわける」＝
「独立かつそれぞれの分布に従うことの証明」をします。

$f_z({z_1},{z_2},...,{z_n})=n!exp\{-nz_1-\sum_{i=2}^nz_i\}I(0\lt z_1)I(0\lt z_2\lt z_3\lt...\lt z_n)\\=ne^-n{z_1}I(z_1\gt 0)・(n-1)!exp(-\sum_{i=2}^nz_i)I(0\lt z_2\lt z_3\lt...\lt z_n)$

前半の式
$ne^{-n{z_1}}I(z_1\gt 0)$
は指数分布に従うことが明らかなので
後半がχ2乗分布に従うことをモーメント母関数を用いて示します。

$M(t)=E[e^{t・\frac{2T}{\sigma}}]\\=E[e^{2t・\sum_{i=2}^nz_i}]\\=\int_0^\infty dz_2\int_{z_2}^\infty d{z_3}...\int_{z_{n-1}}^\infty d{z_n}・(n-1)!e^{t・\frac{2T}{\sigma}}・e^{-\sum_{i=2}^nz_i}$