さて、今回は現代数理統計学の基礎から標本平均と標本分散（不偏分散）の漸化式の問題です。n+1個のデータによる標本平均、不偏分散をn個のデータによるもので表すという話です。
なんの役に立つんだろうと思って調べると（以下）Welfordの方法と言って、逐次的に標本平均や標本分散を更新するためのアルゴリズムに使われるようですね。その辺は分からないのでさっぱりですが。
Algorithms for calculating variance – Wikipedia
平均と分散を逐次的に計算するアルゴリズム – 具体例で学ぶ数学
まず（1）から。
\(\bar{X}_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum^{n+1}X_i\\=\frac{1}{n+1}\sum^nX_i+\frac{1}{n+1}X_{n+1}\\=\frac{n}{n+1}\bar{X}_n+\frac{1}{n+1}X_{n+1}\\=\frac{1}{n+1}(X_{n+1}+n\bar{X}_n)\)
和の記号からn+1項をうまく分離すればできますね。
続いて（2）。（1）の結果を用いてあとは\(V_n\)を作り出すように良い感じにまとめると、できます。
\(nV^2_{n+1}=\sum^{n+1}(X_i-\bar X_{n+1})^2\\=\sum^{n+1}(X_i-\frac{1}{n+1}X_{n+1}-\frac{n}{n+1}\bar X_n)^2\\=\sum^{n+1}\{X_i-\bar X_n-\frac{1}{n+1}(X_n+1-\bar X_n)\}^2\\=\sum^{n+1}(X_i-\bar X_n)^2-\sum^{n+1}\frac{2}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)(X_i-\bar X_n)+\frac{n+1}{(n+1)^2}(X_{n+1}-\bar X_n)^2\\=(n-1)V_n^2+(X_{n+1}-\bar X_n)^2-\frac{2}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)^2+\frac{1}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)^2\\=(n-1)V_n^2+\frac{n}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)^2\)
和の記号を変換していく良い練習になりますね。
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