ポアソン分布に従う確率変数Xがλ→∞のときにが標準正規分布に収束することを証明する問題ですね。
2017年の統計検定1級の問3の最後で全く同じ問題が出ています。
お馴染みのテイラー展開を活用して解いていきます。
〜はどのような分布になるかか、という問題を解く際には、一つは変数変換、平方変換、確率積分変換などをして解く方法と、モーメント母関数を利用して解く方法がありますが、今回はモーメント母関数を使っていきます。
まずポアソン分布のモーメント母関数は
でした。
よって確率変数Zのモーメント母関数は
となります。
続いて対数をとってキュムラント母関数にしてテイラー展開をしていきます。
ここで2項目以降はλ→∞のとき全て0になるので
となり、標準正規分布のモーメント母関数と一致します。
基本的なやり方は二項分布が正規分布に近似されるド・モアブル=ラプラスの定理とも同じですね。以下の記事で一度解いています。
https://nounai-librarian.com/2020-10-02-054015/
どちらも重要な問題なので、 1級の数理統計ではまた出るかもしれません。
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