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『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.28

現代数理統計学の基礎　3章　問9

ポアソン分布に従う確率変数Xがλ→∞のときに $\frac{X-\lambda}{\sqrt\lambda}=Z$ が標準正規分布に収束することを証明する問題ですね。

2017年の統計検定1級の問3の最後で全く同じ問題が出ています。

お馴染みのテイラー展開を活用して解いていきます。

〜はどのような分布になるかか、という問題を解く際には、一つは変数変換、平方変換、確率積分変換などをして解く方法と、モーメント母関数を利用して解く方法がありますが、今回はモーメント母関数を使っていきます。

まずポアソン分布のモーメント母関数は

$M_X(t)=exp[\lambda(e^t-1)]$

でした。

よって確率変数Zのモーメント母関数は

$M_Z(t)=E[e^tZ]\\=E[e^{\frac{X-\lambda}{\sqrt\lambda}t}]\\=e^{-\lambda t}exp[\lambda(e^t-1)]$

となります。

続いて対数をとってキュムラント母関数にしてテイラー展開をしていきます。

$logM_Z(t)=-\sqrt\lambda t+\lambda(e^{\frac{t}{\sqrt\lambda}}-1)\\=-\sqrt\lambda t-\lambda+\lambda+\sqrt\lambda t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3\lambda}t^3+...\\=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{3\lambda}t^3+...$

ここで2項目以降はλ→∞のとき全て0になるので

$logM_Z(t)=\frac{t^2}{2}$

となり、標準正規分布のモーメント母関数と一致します。

基本的なやり方は二項分布が正規分布に近似されるド・モアブル＝ラプラスの定理とも同じですね。以下の記事で一度解いています。

https://nounai-librarian.com/2020-10-02-054015/

どちらも重要な問題なので、 1級の数理統計ではまた出るかもしれません。

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