現代数理統計学の基礎 6章 問12(3)

続いて(3)

 

最尤推定量の分散がクラメールラオの下限に一致することを

確かめる問題です。

 

まず最尤推定量を確かめるため

同時確率密度関数の最尤推定をします。

 

同時確率密度関数をf(x_n|\lambda)とすると

その対数尤度関数は

 

\frac{d}{d\lambda}logf(x_n|\lambda)\\=\frac{x_1}{\lambda}-1+\frac{x_2}{\lambda}-1+...+\frac{x_n}{\lambda}-1\\=\frac{1}{\lambda}\sum x_i-n

 

となります。

 

これを=0として最尤推定量を求めると

 

n=\frac{\sum x_i}{\hat\lambda^{ML}}\\\hat\lambda^{ML}=\frac{\sum x_i}{n}=\bar X

 

となって、結局標本平均が最尤推定量となります。分散を求めると

 

Var(\hat\lambda^{ML})=Var(\bar X)=\frac{\lambda}{n}

 

となり、(2)の下限と一致します。

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