『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.25

現代数理統計学の基礎　6章　問12(3)

続いて(3)

最尤推定量の分散がクラメールラオの下限に一致することを

確かめる問題です。

まず最尤推定量を確かめるため

同時確率密度関数の最尤推定をします。

同時確率密度関数を $f(x_n|\lambda)$ とすると

その対数尤度関数は

$\frac{d}{d\lambda}logf(x_n|\lambda)\\=\frac{x_1}{\lambda}-1+\frac{x_2}{\lambda}-1+...+\frac{x_n}{\lambda}-1\\=\frac{1}{\lambda}\sum x_i-n$

となります。

これを＝０として最尤推定量を求めると

$n=\frac{\sum x_i}{\hat\lambda^{ML}}\\\hat\lambda^{ML}=\frac{\sum x_i}{n}=\bar X$

となって、結局標本平均が最尤推定量となります。分散を求めると

$Var(\hat\lambda^{ML})=Var(\bar X)=\frac{\lambda}{n}$

となり、(2)の下限と一致します。

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現代数理統計学の基礎　6章　問13-1

現代数理統計学の基礎　6章　問12(2)