現代数理統計学の基礎 5章問9 - 脳内ライブラリアン

4連休はガッツリお休みもらえていたのですが、下の子（1歳）の調子が悪く、常に不機嫌で最後となる本日明け方に嘔吐し、洗濯三昧で締めでした、、、。久々に新生児期なみの大変さを感じましたね。

さて、今回は現代数理統計学の基礎から標本平均と標本分散（不偏分散）の漸化式の問題です。n+1個のデータによる標本平均、不偏分散をn個のデータによるもので表すという話です。

なんの役に立つんだろうと思って調べると（以下）Welfordの方法と言って、逐次的に標本平均や標本分散を更新するためのアルゴリズムに使われるようですね。その辺は分からないのでさっぱりですが。

Algorithms for calculating variance – Wikipedia

まず（1）から。

$\bar X_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum^{n+1}X_i\\=\frac{1}{n+1}\sum^nX_i+\frac{1}{n+1}X_{n+1}\\=\frac{n}{n+1}\bar X_n+\frac{1}{n+1}X_{n+1}\\=\frac{1}{n+1}(X_{n+1}+n\bar X_n)$

和の記号からn+1項をうまく分離すればできますね。

続いて（2）。（1）の結果を用いてあとは $V_n$ を作り出すように良い感じにまとめると、できます。

$nV^2_{n+1}=\sum^{n+1}(X_i-\bar X_{n+1})^2\\=\sum^{n+1}(X_i-\frac{1}{n+1}X_{n+1}-\frac{n}{n+1}\bar X_n)^2\\=\sum^{n+1}\{X_i-\bar X_n-\frac{1}{n+1}(X_n+1-\bar X_n)\}^2\\=\sum^{n+1}(X_i-\bar X_n)^2-\sum^{n+1}\frac{2}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)(X_i-\bar X_n)+\frac{n+1}{(n+1)^2}(X_{n+1}-\bar X_n)^2\\=(n-1)V_n^2+(X_{n+1}-\bar X_n)^2-\frac{2}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)^2+\frac{1}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)^2\\=(n-1)V_n^2+\frac{n}{n+1}(X_{n+1}-\bar X_n)^2$

和の記号を変換していく良い練習になりますね。