現代数理統計学の基礎　5章　問6

マルコフの不等式を使った問題をやってみます。

まずは（1）から。

標準正規分布に従うZに対して

不等式の証明

$$P(|Z| \geq t) \leq \frac{2}{t} \phi(t)$$

を証明します。

$$P(|Z| \geq t) \leq \frac{1}{t} E[Z \mid |Z| \geq t]$$

$$= \frac{2}{t} \int_t^\infty z\phi(z)dz$$

$$= \frac{2}{t} \left[ -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(-\frac{z^2}{2} \right) \right]_t^\infty$$

$$= \frac{2}{t} \phi(t)$$

補足

マルコフの不等式は、(X) を非負の確率変数として

$$P(X \geq c) \leq \frac{E[X]}{c}$$

と表されます。また、

$$P(X \geq c) \leq \frac{E[X \mid X \geq c]}{c} \leq \frac{E[X]}{c}$$

とも言えるので、上記の最初の式変形ができます。

また、2つ目の式変形は (Z) が標準正規分布に従うため、対称性があることから成り立ちます。

（2）の証明

$$e^{-at} M_X(t) = e^{-at} E[e^{tX}]$$

$$\geq P(e^{tX} \geq e^{ta})$$

$$= P(X \geq a)$$

ここで、不等号の部分でマルコフの不等式を使用しています。