現代数理統計学の基礎 5章 問6

マルコフの不等式を使った問題をやってみます。

まずは(1)から。

標準正規分布に従うZに対して

P(|Z|\geq t)\leq\frac{2}{t}\phi(t)

を証明します。

P(|Z|\geq t)\leq\frac{1}{t}E[Z| |Z|\geq t]\\=\frac{2}{t}\int_t^\infty z\phi(z)dz\\=\frac{2}{t}[-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{z^2}{2})]_t^\infty\\=\frac{2}{t}\phi(t)

補足すると

マルコフの不等式はXを非負の確率変数として

P(X\geq c)\leq\frac{E[X]}{c}

と表されます。また

P(X\geq c)\leq\frac{E[X]|X\geq c}{c}\leq\frac{E[X]}{c}

とも言えるので、上記の1つ目の式変形ができます。

また2つ目の式変形はzが標準正規分布に従うため、対称性があるので成り立ちます。あとは実際にzを入れ込んで変形していくだけですね。

続いて(2)。

e^{-at}M_X(t)=e^{-at}E[e^{tx}]\\\geq P(e^{tX}\geq e^{ta})\\=P(X\geq a)

不等号のところでマルコフの不等式を使っています。

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