現代数理統計学の基礎　5章　問10（1）

さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。

統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。

問10は確率収束、分布収束の問題です。

まずは（1）から。

（1）はn→∞のとき、不偏分散が母分散に確率収束することを示す問題です。

不偏分散、標本分散ともに一致推定量と呼ばれており、n→∞のときに母分散に一致することが知られています。それを証明する問題ということですね。

さて、まず式を変形していくわけですが、目標として分散の式に近い形態の

\[
\frac{1}{n} \sum (x_i – \mu)^2
\] を目指しつつ変形します。

＊ \(\bar{X}_n\) と毎回書くのが面倒なので \(\bar{X}\) とします。

なので、不偏分散を以下のように変形していきます。

\[
\frac{1}{n-1} \sum (x_i – \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 – n\mu^2 + 2n\mu\bar{X} – n\bar{X}^2 \right\}
\]

\[
= \frac{1}{n-1} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 – n (\bar{X} – \mu)^2 \right\}
\]

前半の項と後半の項を分けてみていきます。

① 前半の項

前半の項は極めて分散を意味する式に近いことが分かります。そこで、少し変形して

\[
\frac{1}{n-1} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\} = \frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\}
\]

とすると、前半の \(\frac{n}{n-1}\) は \(n \to \infty\) の極限で 1 になることが分かりますから、後半部分のみに着目します。

\[
\frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\}
\]

これは期待値が \(\sigma^2\) になり、分散は

\[
E\left[\frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^4 \right\}\right] – \sigma^2 = \mu_4 – \sigma^2
\]

となります。

よって大数の法則から

\[
\frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \right\} \to \sigma^2
\]

となります。

② 後半の項について

後半の項について見てみると

\[
\frac{n}{n-1} \left\{ (\bar{X} – \mu)^2 \right\}
\]

ですので、\(n \to \infty\) の極限を考えると、大数の法則により \(\bar{X}\) は母平均 \(\mu\) に一致していくので

\[
\frac{n}{n-1} \left\{ (\bar{X} – \mu)^2 \right\} \to 0
\]

以上から、不偏分散は \(n \to \infty\) のとき母分散に一致することが分かりました。