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『現代数理統計学の基礎』解説2022.04.02

現代数理統計学の基礎　3章　問5

最早受験が1年先になってしまったので、全く焦らなくなりましたが、ちまちま数理統計の問題を解いてます。

今日はハザード関数を使った生存時間分析の分布関数の導出の問題をやります。実は以前に書いた人年データにおけるNNTの算出の記事で、方法についてはほぼ触れています。

実際の医学論文から統計を学んでみるⅡ②-イベント数/人年データをNNTに直す方法-

まずハザード関数の定義である

$\lambda(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

から始めていきます。

ここでこの関係式の両辺を0からxまでの区間で積分すると

$(左辺)=\int_{0}^{x}\lambda(t)dt$ $(右辺)=\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1-F(t)}dt=-log(1-F(x))+0$

となるので

$\int_{0}^{x}\lambda(t)dt=-log(1-F(x))$ ですから整理して

$F(x)=1-exp(-\int_{0}^{x}\lambda(t)dt)$

となります。

両辺をxで微分すれば

$f(x)=\lambda(x)exp(-\int_{0}^{x}\lambda(t)dt)$

となります。

ちなみに本にも書いてある通り、 $\lambda(t)=\lambda$ で定数のとき

$f(x)=\lambda exp(-\lambda x)$

で指数分布となります。

また、 $\lambda(t)=abt^{b-1}$ で時間とともに変化するハザード関数であるとき

$f(x)=abx^{b-1}exp(-ax^b)$ でワイブル分布となります。

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現代数理統計学の基礎解答・解説まとめ – 脳内ライブラリアン

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