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『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.25

現代数理統計学の基礎　6章　問12(2)

引き続いて(2)ではポアソン分布のクラメール・ラオの下限を調べます。

予備知識として

クラメール・ラオの下限は

n個のデータのフィッシャー情報量を $I_n(\theta)$ として

$\frac{1}{I_n(\theta)}$ でした。

またフィッシャー情報量は

$I_1(\theta)=nI_n(\theta)$

であり、また

$I_1(\theta)=-\frac{d^2}{d\theta^2}E[logf(x_i|\theta)]$

でした。

この知識をもとに解いていきます。

まず、対数尤度関数を調べると

$logf(x|\lambda)=log\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\=xlog\lambda-\lambda-log\frac{1}{x!}$

1回微分すると

$\frac{d}{d\lambda}logf(x|\lambda)=\frac{x}{\lambda}-1$

2回微分すると

$\frac{d^2}{d\lambda^2}logf(x|\lambda)=-\frac{x}{\lambda^2}$

よってフィッシャー情報量は

$I_1(\lambda)=-E[-\frac{x}{\lambda^2}]=\frac{1}{\lambda}$ より

$I_n(\lambda)=\frac{n}{\lambda}$

求めるべき下限は $\frac{\lambda}{n}$ となります。

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