前日の問12とほぼ似通った問題ですが、絶対値を使った点がやや難しいのが問13です。こちらも参考にしながらどうぞ。
まず(1)。
これは問12とほぼ同様のやり方でできます。
あとは期待値、分散は問12と同様にモーメント母関数を使いつつ工夫してやるか、普通に定義を当てはめてやればでます。普通に当てはめるほうが簡単です。
(2)は平方変換です。今回はxの値が-1~1ということで、対称性があります。
よって全てのyにおいて、が成り立つことを活用します。
となります。
なので、問12の(2)と全く同じ答えです。
厄介なのは(3)。
対数変換ですが絶対値がついていますので、場合分けをする必要が出てきます。
まず、です。
変数変換の際にかけるは本書内での説明でもある通り、絶対値付きなので、xの符号によらずこれは変わりません。
ここで、-1<x<0のとき、
また0<x<1のとき、
となります。
ここで定義関数I(0<y<∞)を使って表すと（定義関数は値の条件を満たさなければ0になり、条件を満たせば1になる関数）
\(f_Y(y)=f_X(-e^{-y})e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)+f_X(e^{-y})e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)\\=2f_X(e^{-y})e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)(対称性のため)\\=e^{-y}I(0\lt y\lt\infty)\)
となります。
よって実は問12の(3)と全く変わりませんので期待値と分散も1となります。
(4)もほぼ解き方が変わりませんので省略します。
結構色々やると慣れてきますね。平方変換シリーズのなかでもう一つ癖がある問15を次はやります。
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