現代数理統計学の基礎 7章 問5

今回の問題はポアソン分布における尤度比検定・ワルド検定・スコア検定の問題ですね。これも基本に沿ってやれば問題なくできます。

同じ内容を扱った過去記事はこちら 

medibook.hatenablog.com

まずは尤度比検定ですが、その前にλの最尤推定量を求めましょう。

対数尤度関数は

logL(\lambda)=\sum x_ilog\lambda-log\sum x_i!-n\lambda

となるのでλで微分して

\frac{\partial}{\partial\lambda}logL(\lambda)=\frac{\sum x_i}{\lambda}-n

これを=0として変形すれば最尤推定量\hat\lambdaが求まります。

\hat\lambda=\frac{\sum x_i}{n}=\bar X

標本平均と等しくなることが分かりました。

では尤度比検定の式を見てみると

\frac{\frac{\lambda_0^{n\bar X}}{\Pi x_i!}e^{-n\lambda_0}}{\frac{\hat\lambda^{n\bar X}}{\Pi x_i!}e^{-n\hat\lambda}}\\(\frac{\lambda_0}{\bar X})^{n\bar X}exp(n\bar X-n\lambda_0)

あとは−2をかけて対数をとると、カイ二乗分布に従うため

-2n\bar Xlog\lambda_0+2n\bar Xlog\bar X+n\bar X-n\lambda_0\gt\chi^2_{1,\alpha}

となります。

続いてワルド検定。まずフィッシャー情報量を求めていきます。

パラメータで2回微分すると

\frac{\partial^2}{\partial\lambda^2}logf(x)=-\frac{x}{\lambda^2}

負の期待値を取ると、1個のフィッシャー情報量となりますがE[X]=λなので

I_1(\lambda)=\frac{1}{\lambda}となります。

よって、ワルド検定の式は

\sqrt{nI_1(\hat\lambda)}(\hat\lambda-\lambda_0)\\=\sqrt{\frac{n}{\hat\lambda}}(\hat\lambda-\lambda_0)\\=\sqrt{\frac{n}{\bar X}}(\bar X-\lambda_0)\sim N(0,1)

二乗すると解答と同様にカイ二乗分布に従う形となります。

最後にスコア検定。

スコア関数は対数尤度関数をパラメータで微分すれば良いので

S(\lambda)=\frac{n\bar X}{\lambda}-n

となります。

スコア検定を示す式は

\frac{S(\lambda_0)}{\sqrt{nI_1(\lambda_0)}}

なので、代入して

\frac{\sqrt n(\bar X-\lambda_0)}{\sqrt\lambda_0}\sim N(0,1)

となります。これも二乗すると解答と同様の形になります。

(*2021.04.25追記:途中の式にミスがあったので修正しました)

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