現代数理統計学の基礎　7章　問9（2）

問9（2）ですが、問4と同じような感じで棄却域を広げていきます。

現代数理統計学の基礎 7章 問4 – 脳内ライブラリアン

まずは帰無仮説を \( \lambda = \lambda_0 \) と固定します。

次に場合わけ。

① \( \lambda_{MLE} \lt \lambda_0 \) のとき

尤度比は1となってしまうので成立せず。

② \( \lambda_{MLE} \geq \lambda_0 \) のとき

(1)の式と同様にして \( \lambda_1 \) に \( \lambda_{MLE} \) を入れると尤度比検定の式は前問と同様に変形できます。

\( \left(\frac{\lambda_0}{\lambda_{MLE}}\right)^n \exp(-\lambda_{MLE} + \lambda_0) \sum x_i \lt C \\ 2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha} \)

これが一様最強力検定となるので、あとは棄却域を広げて

\( \sup P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) \)

が \( \alpha \) となることを示します。

\( P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda_0 \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) \\ = P_{\lambda \leq \lambda_0}\left(2\lambda \sum x_i \lt \frac{\lambda}{\lambda_0} \chi^2_{2n, 1-\alpha}\right) \\ \leq P_{\lambda \leq \lambda_0}(2\lambda \sum x_i \lt \chi^2_{2n, 1-\alpha}) = \alpha (\lambda \leq \lambda_0 のため) \)