統計検定1級ですが最近は解き方を1個1個細かくみるというより、過去問をどんどん解けるように練習中です。統計応用よりも統計数理の方が範囲が定まっているのでなんだか解いていると安心するという不思議な状態になっています、、、（汗
統計応用は知らないことが多すぎて不安です。
統計数理の問題を見ながら現代数理統計学の基礎の類題を解いているんですが、今回は変数変換で対数正規分布の期待値と分散をみていく3章の問10です。
まず、期待値から見ていきます。
\(E[X]=\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(logx)^2}{2}}dx\\=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}+t}dt\\=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(t-1)^2}\sqrt edt\\=\sqrt e\)
logx=tとして置換積分しています。
最後の式変形は積分の部分がN(1,1)の正規分布となっているので、全確率＝1を利用して変形しました。
次に分散です。同様のやり方で、x2乗の期待値を求めます。
期待値と分散の計算
\[
E[X^2] = \int_0^\infty \frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\log x)^2}{2}}dx
\]
\[
= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2} + 2t} dt
\]
\[
= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (t – 2)^2} e^2 dt
\]
\[
= e^2
\]
よって、分散は
\[
V(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = e^2 – e
\]
変数変換による分布の確認
また、\( Y = \log X \) で変数変換すると、確率密度関数は
\[
f_Y(y) = e^y \frac{1}{\sqrt{2\pi} e^y} e^{-\frac{y^2}{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}
\]
となり、標準正規分布に従うことがわかります。
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