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『現代数理統計学の基礎』解説2022.03.27

現代数理統計学の基礎　4章　問15

さて、ここ最近は専門医試験のレポートに追われてあまり時間が取れません、、、。前に解いた問題をしばらく上げていきます。

今回は3変数における変数変換の問題ですね。

まずはX＝の形に直してみてみます。

$X_1=Z_1Z_2Z_3$

$X_2=(1-Z_1)Z_2Z_3$

$X_3=(1-Z_2)Z_3$

となることが分かります。

ここでヤコビアンは（行列式のlatexが面倒なので手書き）

となりますので、サラスの公式を使って

$J=Z_1Z_2^2Z_3^2+(1-Z_1)(1-Z_2)Z_2Z_3^2+(1-Z_1)Z_2^2Z_3^2+Z_1Z_2(1-Z_2)Z_3^2\\=Z_2Z_3^2$

となります。

よって、3つの変数による同時確率分布は

$f_{Z_1,Z_2,Z_3}(z_1,z_2,z_3)=\lambda exp\{-\lambda z_1z_2z_3\}\lambda exp\{-\lambda(1-z_2)z_3\}\lambda exp\{-\lambda (1-z_1)z_2z_3\}z_2z_3^2\\=z_2\lambda^3 z_3^2exp\{-\lambda z_3\}$

となります。

$f_{Z_1}(z_1)=1$ と考えれば、これは3つの確率変数の積で表されるので、互いに独立であることが分かります。これで（1）は終わり。

(2)(3)は

$f_{Z_1}(z_1)=1$

と $Z_1$ が一様分布であることがまず分かります。

続いて残る二つの確率変数ですが、 $Z_3$ はよく見るとガンマ分布に近い形をしていることが分かります。

これは当然なのですが、 $Z_3=X_1+X_2+X_3$ なので、ガンマ分布の和の再生性を考えても分かりますね。

なので

$f_{Z_3}(z_3)=\frac{\lambda^3}{2}z_3^2exp\{-\lambda z_3\}$

となり、 $Ga(3,\lambda)$ に従うことが分かります。

残る $Z_2$ は $f_{Z_2}(z_2)=2z_2(0\lt z_2\lt1)$

となるので、これで終わりです。

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