2022年統計応用(医薬生物学)の解答例 問1【統計検定1級対策】

2022年医薬応用の問1は毎年必ず出てくる生存時間分析の問題でした。テーマとしてはCox比例ハザードモデルです。さほど捻った要素もなくこれは解けました。

(1)

まずはモデルが比例ハザード性を満たすことの説明です。比例ハザード性とは時間経過に関係なく、変数間のハザード関数の関係が比例関係になることですので、それを式から示せれば良いと思われます。x=0のとき、ハザード関数は

\( \lambda(t; 0) = \lambda_0(t) \)

x=1のとき、ハザード関数は

\( \lambda(t; 1) = \lambda_0(t) exp(\beta) \)

となります。比をとればtに関わらずexpβの比例関係にあることがわかります。

(2)

続いては生存時間関数をハザード関数を用いて表す問題。生存時間分析の基本ですね。過去の記事でも扱っています。

まず、ハザード関数の定義に戻って考えてみますと、ある時間tでイベントが起きる確率密度関数をf(t), 分布関数をF(t)として

\( \lambda(t)exp(\beta x) = \frac{f(t)}{1-F(t)} \)

上記の関係から、両辺を積分して

\( \int \lambda_0^y exp(\beta x)dy =-log(1-F(t)) \)

よって1-F(t)が生存関数S(t)となることを踏まえ、対数を外すと

\(S(t;x) = exp\left(-\int_0^t \lambda_0(y)dy\right) exp(\beta x)\)

以上より

\(S_0(t) = exp\left(-\int_0^t \lambda_0(y)dy\right)\)

となります。

(3)

続いては二重対数プロットをとって比例ハザード性を確認する方法を見ていきます。
ヒントに従って(2)の式を用いると

\( \log\left(1-\log S(t;x)\right)\\
=\log\left(1-exp(\beta x \log S_0(t))\right)\\
= \log\left(-\log S(t)\right) + \beta x\)

となります。つまりこれをグラフにするとβxが切片となりその差は常に平行に続いていきます。

(4)

まずハザード比の推定値を計算します。(1)で見たようにハザード比はexpβxで求められますので回帰係数0.06をβに当てはめて
\( \hat{HR} = e^{0.06 x} \\=1.061836… \)

となります。

続いて95％信頼区間を考えます。対数ハザード比が正規分布に従うということなので

\( log\hat{HR} \sim N(\mu,\sigma^2) \)

とすると対数ハザード比の95％信頼区間は

\( \log \hat{HR} \pm 1.96SE \)

で求められます。

あとはこの求めた幅を対数から直せば終了です。

(5)

（4）の結果は1を跨いでいますので、有意差がなく治療効果は有効と言えず、試験結果からは何もわからないということになります。