正規分布の平均まわりのk次モーメントの求め方【統計検定1級対策】

さて、統計検定で勉強した名残を少し記事にしていこうかと思います。

統計検定でも時折問われることがあるのが、正規分布のk次モーメントです。

X\sim N(\mu,\sigma^2)のとき、\(E[(x-\mu)^3], E[(x-\mu)^4]\)がどうなるかといった問題ですね。

そのまま式を考えるより、標準正規分布N(0,1)のモーメント母関数をテイラー展開して考えるとうまくいきます。

標準正規分布のモーメント母関数はe^{\frac{t^2}{2}}なのでこれをテイラー展開して

M_X(t)=e^{\frac{t^2}{2}}\\=0+\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2!}(\frac{t^2}{2})^2+\frac{1}{3!}(\frac{t^2}{2})^3+\frac{1}{4}(\frac{t^2}{2})^4...

となります。

そうするとモーメント母関数を1回微分したときは

M'_X(t)=0+t+...

となるので、0を代入すると

M'_X(0)=0

つまり微分したときに残ったtのある項は全て消えてしまうので、微分で残ったやつのみに着目すれば良いんですね。

続いて2回微分は

M''_X(t)=1+\frac{3t^2}{2}+...

なので

M''_X(0)=1

3回微分は

M''_X(t)=3t+... M''_X(0)=0

4回微分は

M''''_X(t)=3+... M''''_X(0)=3

となっていきます。

そうすると実は奇数のモーメントは全て0になり、偶数のモーメントもある程度の規則性があることがわかります。

『現代数理統計学の基礎』の第3章問15にその証明問題がありますが、偶数次のモーメントが、カイ二乗分布に従うことを利用して変数変換を施すことで

E[X^k]=\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{2^{\frac{k+1}{2}}}{\sqrt2}

と一般化できます。

ここまでは標準正規分布の話でしたが、平均mu、分散\sigma^2の正規分布の際に、肝心の平均まわりのモーメントはどうなるかというと、後は簡単です。

例えば4次モーメントであれば

\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)

なので、先ほどの結果から

E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^4]=3

母分散は定数であるため

E[(X-\mu)^4]=3\sigma^4

となります。

これで平均まわりのモーメントであれば何次でも求められることがわかります。

参考文献:

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