現代数理統計学の基礎 4章 問14

2つの確率変数の変換問題を引き続きちょこちょこやります。

今回はカイ二乗分布同士を使った確率変数変換の問題ですね。

まず(1)ではWとZが独立であることを示します。同時確率密度関数がそれぞれの確率変数の積になる事を示せれば、独立であると言えます。

Z=X+Y, W=\frac{X}{X+Y}なので

X=WZ, Y=(1-W)Z

となります。

ヤコビアンは

J_{(z,w\rightarrow x,y)}=zとなります。

同時確率密度関数は

\(f_{Z,W}(z,w)=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{m_1}{2}}}{\Gamma(\frac{m_1}{2})}(wz)^{\frac{m_1}{2}-1}exp(-\frac{wz}{z})\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{m_2}{2}}}{\Gamma(\frac{m_2}{2})}\{(1-w)z\}^{\frac{m_2}{2}-1}exp(-\frac{(1-w)z}{2})z\)

上述したようにzとwの関数の積になるように整理します。

=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{m_1}{2}}}{\Gamma(\frac{m_1}{2})}w^{\frac{m_1}{2}-1}(1-w)^{\frac{m_1}{2}-1}\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{m_1}{2}}}{\Gamma(\frac{m_1}{2})}z^{\frac{m_1+m_2}{2}}exp(-\frac{z}{2})

まずここまでで、zとwが独立であることがわかりますので、(1)は終わりです。

続いて(2)。

整理してみてみるとwの関数はベータ分布の式に、zの関数は自由度m_1+m_2のカイ二乗分布の式に近いことに気づきます。

そこで、うまく変形して

\(=\frac{\Gamma(\frac{m_1+m_2}{2})}{\Gamma(\frac{m_1}{2})\Gamma(\frac{m_2}{2})}w^{\frac{m_1}{2}-1}(1-w)^{\frac{m_1}{2}-1}\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{m_1+m_2}{2}}}{\Gamma(\frac{m_1+m_2}{2})}z^{\frac{m_1+m_2}{2}}exp(-\frac{z}{2})\)

W\sim Beta(\frac{m_1}{2},\frac{m_2}{2}), Z\sim \chi^2_{\frac{m_1+m_2}{2}}

であることが分かりました。

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